Wie bestimmt man die lokalen Extremstellen einer Funktion die von mindestens 2 Variablen abhängt?

    Diese Seite verwendet Cookies. Durch die Nutzung unserer Seite erklären Sie sich damit einverstanden, dass wir Cookies setzen. Weitere Informationen

    • Wie bestimmt man die lokalen Extremstellen einer Funktion die von mindestens 2 Variablen abhängt?

      also bei ner funktion die von nur einer variablen abhängt bestimmt man ja 1. ableitung, setzt die = 0 und überprüft die 2. ableitung (ungleich 0) und man hat die lokalen extremstellen.
      wenn die funktion jetzt aber von mindestens 2 verschiedenen variablen abhängt, muss ich dann mit 2 ableitungen arbeiten und die jeweils gleich 0 setzen, oder wie geht das?

    • Dann hast du ja eine Funktionenschar.
      Üblicherweise muss man dann die Ortskurven bestimmen (so nannte man die doch in der Schule, oder?).
      Das sind Kurven, auf denen z.B. die extrema liegen. Wenn ich mich recht entsinne funktioniert das genauso wie ein gewöhnliches maximum/minimum zu finden, nur dass der Wert halt variabel ist.
      Weiß es aber auch nicht mehr genau, dass ich sowas gemacht hab liegt weit zurück...
      I'm not a coward, I've just never been tested
      I'd like to think that if I was I'd pass
      Look at the tested and think There but for the grace go I!
      Might be a coward, I'm afraid of what I might find out

    • Jo Infrisios hat Recht (wie immer)

      Du hast dann eine Gerade/Parabel whatever die duch alle Maxima/Minima durchgeht, sprich du hast dann entweder x in Abhängigkeit von y oder andersherum.

      springerlink.com/content/t34657886g75k366/ <-- Ich finde das ziemlich umständlich erklärt, aber vielleicht verstehst du es ja

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von ereskigal ()

    • Infrisios hat damit soweit recht.
      Deine Funktion ist ja immer nach etwas abhängig, also z.b. f(x). Bei 2 Variablen steht also in der Funktion x und meinetwegen noch iwo k als variable.
      Wie Infirsios schon meinte heissen die dinger Funktionsscharen, und werden genauso behandelt wie ne normale funktion.
      Folglich bildest du von der funktion ( f (x) ) die 1. ableitung ( f '(x) ), diese ableitung setzt du gegen 0 und zwar nach x ( f '(x)=0,x ) [wennde es mitn CAS Rechner machst is es ganz einfach halt, im Kopf bisl überlegen, dann dürfte die Schar aber auch net so komnplex sein]
      Da bekommst du dann 1 oder 2 ergebnisse raus, die alle die variable k enthalten dürften (es gibt ausnahmen), und dieses ergebnis mit der variable k ist dann deine extremstelle.
      danach prüfst du natürlich mit der 2. ableitung ob maximum oder minimum, da kann es etwas schwer werden, weil da musst du notfalls noch ein definitionsbereich für k angeben, sp das klar wird, wann die stelle akzeptabel is (also z.b. keine division durch 0 und der wert im bereich des definitionsbereiches der funktion), wennde das alles gemacht hast, und raus hast was max und was min ist, diesen term (also die extremstellen) dann in die normale funktion einsetzten jeweils, und dann haste schon die Extrempunkte ganz raus.

      So hoffe, das dürfte verständlich sein, hatten dass vor paar monaten erst in der schule, wennde noch fragen hast, frag.

      Edit: Memo an mich selbst: kürzer fassen, schneller schreiben!

    • Ah, das hatten wir Freitag in Analysis. Wenn man sich die Taylor-Formel ansieht kann man das direkt erkennen.
      Ich nehme mal an du sprichst von Skalarfeldern f(x,y)=z (und nicht von Funktionenscharen wie hier alle behaupten), also:
      Für ein 2 mal stetig differenzierbares Skalarfeld f:R^n -> R gilt:
      Eine Funktion KANN eine Extremstelle im Punkt x haben wenn der Gradient der Funktion 0 ist also grad(f(x))=0.
      Und eine Funktion HAT eine Extremstelle wenn die Hesse Matrix der Funktion ZUSÄTZLICH der Stelle x
      positiv definit ist -> isoliertes Minimum
      negativ definit ist -> isoliertes Maximum
      pos./neg. semidefinit -> keine Aussage
      indefinit -> KEINE extremstelle


      kA wie du dich auskennst, ich erklär mal die wichtigsten Sachen:
      Der Gradient einer Funktion ist die Ableitung nach der 1,2,3,4.... Variable an die 1,2,3,4.... Stelle als Vektor aufgeschrieben.
      Sie Hesse Matrix ist definiert als nxn Matrix mit
      (a_ij) = (D_i D_j f(x))
      also die Partiellen ableitungen der Funktion an der Stelle x nach x_j und x_i (ist egal wie rum, weil die Funktion 2 mal stetig diffbar ist).
      Die Hesse'sche Matrix A ist diagonalisierbar, also ist sie positiv definit genau dann wenn die Eigenwerte alle echt größer 0 sind bzw. (Ax*x)<0 für alle x in R^n\{0}
      und negativ definit wenn die Eigenwerte alle echt kleiner 0 sind bzw. (Ax*x)<0 für alle x in R^n\{0}
      Ein hilfreiches Kriterium für positive definitheit ist auch dass wenn A symmetrisch ist sie genau dann positiv definit ist wenn die Determinante echt größer 0 ist.
      Necessity brings him here, not pleasure.

    • Im Normalfall ist ja vorgegeben, gegen welche variable man Ableiten muss. Beispiel:
      fa(x)=x²+3ax+6a²
      Nun leitet man das ganze gegen x ab und behandelt dabei a wie eine Zahl:
      fa'(x)=2x+3a
      fa''(x)=2
      Notwendige Bedingung: Erste Ableitung = 0
      fa'(x)=0 => 2x+3a=0 => 2x=-3a => x=-1.5a
      Da die zweite Ableitung immer =2 ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt, nun bestimmen wir die y-Koordinate
      fa(-1.5)=(-1.5a)²+3a*(-1.5a)+6a²=2.25a²-4.5a²+6a²=3.75a²
      Die Funktion hat also einen Tiefpunkt bei (-1.5a/3.75a²), der von a Abhängig ist.
      Es kann auch passieren, dass eine oder beide Koordinaten eines Extremwerts unabhängig von a sind.
      Dies war jetzt ein sehr leichtes Beispiel (habe ich mir auch nur schnell ausgedacht ^^), ich hoffe das hilft.
      Anmerkung: bei fa(x) soll das a jeweils im Index stehen.
      T
      R
      I
      G
      G
      E
      R
      E
      D

    • hier geht es wohl nicht um eine funktionenschar, bei der man nacheinander nach den verschieden variablen ableitet, sondern um eine differentation mehrerer variablen:


      sofern man keine nebenbedingungen hat, ist es recht einfach, denn hier muss für eine nullstelle nur der gradient 0 sein:


      dass heißt alle partiellen ableitungen müssen 0 sein:


      ...



      /edit: mist, zu spät... die dummen formeln brauchen so lange^^

    • Midna schrieb:

      Im Normalfall ist ja vorgegeben, gegen welche variable man Ableiten muss. Beispiel:
      fa(x)=x²+3ax+6a²
      Nun leitet man das ganze gegen x ab und behandelt dabei a wie eine Zahl:
      fa'(x)=2x+3a
      fa''(x)=2
      Notwendige Bedingung: Erste Ableitung = 0
      fa'(x)=0 => 2x+3a=0 => 2x=-3a => x=-1.5a
      Da die zweite Ableitung immer =2 ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt, nun bestimmen wir die y-Koordinate
      fa(-1.5)=(-1.5a)²+3a*(-1.5a)+6a²=2.25a²-4.5a²+6a²=3.75a²
      Die Funktion hat also einen Tiefpunkt bei (-1.5a/3.75a²), der von a Abhängig ist.
      Es kann auch passieren, dass eine oder beide Koordinaten eines Extremwerts unabhängig von a sind.
      Dies war jetzt ein sehr leichtes Beispiel (habe ich mir auch nur schnell ausgedacht ^^), ich hoffe das hilft.
      Anmerkung: bei fa(x) soll das a jeweils im Index stehen.


      und wie komm ich jez weiter? muss ich dann nochmal die erste funktion nach a ableiten?
      so hab ich ja den punkt (-1.5a / 3.75 a²), aber ich will ja wissen was ich für beide variablen einsetzen muss um den niedrigsten oder höchsten wert zu finden der aus der funktion raus kommen kann (wobei einsetzen von + oder - unendlich nicht erlaubt ist), also ich will nen werte für x und a bei denen das/ein maximum rauskommt und werte für x und a bei denen das/ein minimum rauskommt

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von P@u1 ()

    • es wäre am einfachsten wenn du mal ein beispiel oder deine aufgabe postest. So theoretisch kannst du das auch überall nachlesen, nur die praktische Umsetzung unterscheidet sich je nach Formel

    • hier ne beispielaufgabe:
      zu bestimmen ist der abstand zwischen zwei geraden mithilfe von analysis (nicht mit geometrischen mitteln!)
      gerade1: -> (1) (7)
      x = (7) + t* (-3)
      (-5) (9)
      (hoffe ihr erkennt das das vektoren sein sollen)

      gerade2: -> (8) (5)
      x= (-1) + s* (4)
      (-3) (-7)

      jetzt bestimmt man erstmal allgemein den abstand zwischen zwei punkten die jeweils auf einer der geraden liegen mit pythagoras (hab das ma mit maple gemacht):
      Abstand: d=sqrt((139*(t+40/139*s-91/139)^2+10910/139*s^2+4222/139*s+7982/139)^(1/2))
      ( entschuldigt das ich nicht weiß wie ich das besser als formel hinschreibe)
      so jetzt habn wir eine funktion für den allgemeinen abstand. dieser soll jetzt minimiert werden. also müssen am ende konkrete werte für t und s und damit auch für den abstand rauskommen.
      ist halt jetzt schwer weils so ne fette formel ist, wenn ihr wollt könnt ihr sie vereinfachen.
      Edit: irgendwie ist die formatierung der vektoren kaputtgeganen..... also ich schreib hier nochma die geradengleichungen:
      gerade 1: <1,7,-5>+t*<7,-3,9>
      gerade2: <8,-1,3>+s*<5,4,-7>

      Dieser Beitrag wurde bereits 3 mal editiert, zuletzt von P@u1 ()

    • Ich erinnere mich dunkel das wir das mit ner Hilfsebene gemacht haben, die eine Grade ist der Normalenvektor der Hilfsebene und dann den Durchstoßpunkt der anderen Grade mit dieser Ebene.
      Weiß nur nicht, ob ihr das schon gemacht habt.

    • also deine ansatzweise ist zwar möglich, allerdings ohne "uni-mathematik" nicht lösbar (ich denk mal du bist schüler, oder?), denn hier müsste man des tatsächlich mit nambla und hesse-matrix berechnen.
      ein einfacher ansatzt wäre, dass die abstands-strecke, wenn sie minimal ist, orthogonal zu beiden geraden ist.
      noch einfacher wird es sogar, wenn du aus deinem abstand-von-gerade-zu-gerade-problem ein abstand-von-punkt-zu-ebene-problem machst, indem du aus dem stützvektor der einen gerade deinen punkt definierst und aus dem anderen stützvektor und den beiden richtungsvektoren den stützvektor und die richtungsvektoren der ebene definierst.
      jetzt brauchst du nur noch den normierten normalenvektor der ebene und schaust um wie viel du den normalenvektor verlängern musst, damit er mit dem ersten stützvektor addiert die ebene schneidet. dieser verlängerunsfaktor ist dein abstan der beiden geraden.

    • also es geht mir nicht darum wie ich die von mir gestellte aufgabe mit den 2 geraden mithilfe von geometrischen überlegungen löse. wie das geht ist mir selbst klar. es war nur eine beispielaufgabe, die einige haben wollten. ich hab letzens gegoogelt und folgende vorgehensweise gefunden (hab den link nicht mehr):
      wir habn die funktion f(x,y).
      bezeichnung der ableitungen: f_x : 1. ableitung von f nach x f_xx 2. abl von f nach x f_y und f_yy analog und f_xy ist einmal nach x und einmal nach y abgeleitet
      nun muss f_x=0 und f_y=0 gelten und (warum auch immer) (f_xx*f_yy ) - (f_xy)² > 0 (bin mir nicht ganz sicher ob das genauso war, glaube aber schon)
      also fragen: 1. ist diese vorgehensweise so richtig?
      2. ich versteh nicht wie man auf die 2. bedingung kommt, aber ist vermutlich zu schwer zu erklären (bin in der 12. klasse)
      EDIT: ich glaub das führ hier zu nix mehr, könnt closen wenn ihr wollt

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von P@u1 ()

    • des geht schon so...
      f_x und f_y sind die partiellen ableitungen, die müssen 0 sein
      deine ungleichung stimmt bedingt, es fehlt noch, dass f_xx > 0 sein muss (bestimmung der positiven definitheit durch hauptminoren)
      und die erklärung wirst du (hoffentlich) verstehen können wenn du mathe studierst und ana 2 im 2.Semester hörst
      aber allgemein dürfte diese vorgehensweise viel zu aufwendig sein

      Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von uNital ()

    • Benutzer online 1

      1 Besucher