Vollständige Induktion

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    • Vollständige Induktion

      Hi Leute,
      ich muss eine Mathe Aufgabe machen, nur fehlt mir irgendwie der Lösungsansatz.

      Beweise Sie 1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5 ... + 1/n(n+1) = n/ n+1 durch vollständige Induktion.


      Unser Lehrer hat uns das irgendwie total seltsam erklärt und das Internet hilft mir nicht so wirklich weiter..
      Kann wer die Aufgabe mal vorrechnen, damit ich weiß, nach welchem Schema ich dadran gehen muss, weil ich bis übermorgen eine Reihe von so aufgebauten Aufgaben lösen muss.
      Ich war bis jetzt soweit, dass ich folgendes hatte: summe n+1 (index) = summe n(index) + 1/n*(n+1)
      Ist das richtig? Wenn ja, wie beweise ich dann die oben genannte Gleichung?

      :rockband:

    • Summe von i=1 bis n kürz ich mit Sum[i=1;n]() ab

      Induktionsannahme: Sum[i=1;n]( 1/(i(i+1)) ) = n/(n+1) Für n = 1 noch nachprüfen


      Induktionsschritt: zz: Sum[i=1;n+1]( 1/(i(i+1)) ) = (n+1)/(n+2)
      <=> Sum[i=1;n]( 1/(i(i+1)) ) + 1/( (n+1)(n+2) = (n+1)/(n+2)
      <=> n/(n+1) + 1/( (n+1)(n+2) = (n+1)/(n+2)
      <=> n²+2n+1/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2)
      <=> (n+1)²/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2)
      <=> (n+1)/(n+2) = (n+1)/(n+2)
      Take your time, don't live too fast. Troubles will come and they will pass.

    • 3 Sachen beachten.

      Induktionsanfang
      Induktionsschritt
      Induktionsende.

      IA = mit 1 überprüfen

      Induktionsschritt = n+1 einsetzten

      Induktionsende: Gleichheit zeigen. Mehr ist das nicht. Bin mir aber bei der Formulierung nicht mehr sicher XD

    • ... und mir wird auf die Finger geklopft wenn ich Lösungen poste...
      Ich hab heut schon 2 Stunden lang Induktionen gemacht -.-
      Mit den Äquivalenzumformungen ist das aber alles andere als elegant, es reicht das nach (n+1)/(n+2) umzuformen und zu sagen man ist fertig. Hat mehr Stil imo.

      Für Induktion gibts allgemein ein einfaches Schema:
      Du fängst an mit dem sog. Induktionsanker (IA) also dass es für n=1 oder n=0 geht (je nachdem ob ihr 0 als natürliche Zahl definiert habt oder nicht)
      dann machst du den sog. Induktionsschritt (IS) also den schluss dass wenn es für n dann auch für n+1 geht also n->n+1.
      Für Summen geht das so:
      Dazu schreibst du die ∑ bis n+1 auf, ziehst das n+1 Glied raus und wendest die Induktionsvoraussetzung (IV) an, dass es bis n gilt. Dann musst du es so umformen dass dort der gewünschte Ausdruck für n+1 dort steht.
      Necessity brings him here, not pleasure.

    • giles schrieb:

      ... und mir wird auf die Finger geklopft wenn ich Lösungen poste...
      Ich hab heut schon 2 Stunden lang Induktionen gemacht -.-
      Mit den Äquivalenzumformungen ist das aber alles andere als elegant, es reicht das nach (n+1)/(n+2) umzuformen und zu sagen man ist fertig. Hat mehr Stil imo.

      Für Induktion gibts allgemein ein einfaches Schema:
      Du fängst an mit dem sog. Induktionsanker (IA) also dass es für n=1 oder n=0 geht (je nachdem ob ihr 0 als natürliche Zahl definiert habt oder nicht)
      dann machst du den sog. Induktionsschritt (IS) also den schluss dass wenn es für n dann auch für n+1 geht also n->n+1.
      Für Summen geht das so:
      Dazu schreibst du die ∑ bis n+1 auf, ziehst das n+1 Glied raus und wendest die Induktionsvoraussetzung (IV) an, dass es bis n gilt. Dann musst du es so umformen dass dort der gewünschte Ausdruck für n+1 dort steht.


      Kannst du das mal auf die Aufgabe beziehen?
      Ich steig da echt noch nicht hiner...
      Wir haben das seit zwei Stunden und unser Lehrer erklärt sowieso nie so gut...
      Die Umformung von Uhuu verstehe ich, aber wie kommt ihr denn alle auf das (n+1)/(n+2)

    • auf das (n+1)/(n+2) kommt man indem man in die induktionsannahme n+1 einsetzt.(rechte Seite)
      Das kommt daher das du davon ausgehst das deine Annahme für ein bestimmtes n gilt, nun willst du zeigen das es dann auch fuer n+1 gilt.

      zeigst du dann noch durch nachrechnen das die annahme konkret für eine bestimmte zahl k gilt, dann hast du durch die induktion gezeigt, dass die Annahme für alle n>=k gilt.

      Unser Matheprof hat uns ein Bsp gegeben. Er zeigt das er auf der 1. Stufe einer Treppe stehen kann. Dann zeigt er das er von der n-ten Stufe auf die n+1. Stufe steigen und dort stehen kann. Damit hat er gezeigt das er auf allen Stufen stehen kann. Denn setzt man n = 1 so weiss man das er auch auf der 2. stehen. Setzt man n = 2 weiss man er kann auf der 3. stehn usw...
      Take your time, don't live too fast. Troubles will come and they will pass.

    • uhuu schrieb:

      auf das (n+1)/(n+2) kommt man indem man in die induktionsannahme n+1 einsetzt.(rechte Seite)
      Das kommt daher das du davon ausgehst das deine Annahme für ein bestimmtes n gilt, nun willst du zeigen das es dann auch fuer n+1 gilt.

      zeigst du dann noch durch nachrechnen das die annahme konkret für eine bestimmte zahl k gilt, dann hast du durch die induktion gezeigt, dass die Annahme für alle n>=k gilt.

      Unser Matheprof hat uns ein Bsp gegeben. Er zeigt das er auf der 1. Stufe einer Treppe stehen kann. Dann zeigt er das er von der n-ten Stufe auf die n+1. Stufe steigen und dort stehen kann. Damit hat er gezeigt das er auf allen Stufen stehen kann. Denn setzt man n = 1 so weiss man das er auch auf der 2. stehen. Setzt man n = 2 weiss man er kann auf der 3. stehn usw...

      Gut, dass hab ich dann schonmal verstanden. Kannst du jetzt nochmal den Teil mit Sum & i erklären, weil das hatten wir noch garnicht benutzt.
      Besonders Schritt 2 zu 3 und den Satz:
      Induktionsannahme: Sum[i=1;n]( 1/(i(i+1)) ) = n/(n+1) Für n = 1 noch nachprüfen

    • Wenns dir vlt. hilft hier mal ne Erklärung was du bei ner Inudktion überhaupt machst:

      DIe Induktion ist ein Beweisprinzip, dass sich an die natürlichen Zahlen anlehnt und im Grunde 2 Kernaussagen hat:
      1. Es gilt für die erste Zahl (Also normalerweise n=0 oder n=1).
      2. Wenn es für eine beliebige Zahl n gilt, dann folgt, dass es auch für den Nachfolger n+1 gilt.
      (Alternativ zu 2: Wenn es für alle Zahlen 0 bis n gilt, dann gilt es auch für n+1)
      Aus diesen beiden Aussagen kannst du dann Schlussfolgern:
      Die Aussage gilt für n=0 (oder 1). Die Aussage gilt für den Nachfolger, also n=1. Somit aber auch für deren Nachfolger n=2 usw.
      Somit gilt die Aussage also für alle beliebige Zahlen n.

      Ist also immer ganz simpel: Für die Erste Zahl beweisen, dann annehmen das für alle Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl n gilt. Und daraus schlussfolgern, dass es für den Nachfolger n+1 gilt.
      Ganz wichtig: Das deutschsprachige Magic the Gathering Forum
      (Sehr geil^^ :D )

      Riesen Dank und Lob an Takaya

    • Erstmal danke an alle für die Hilfe bis hier hin.
      Giles, deinen Edit habe ich gesehen.
      Ich warte jetzt noch auf uhuus Antwort und dann werde ich morgen das ganze mit paar Freunden aus meinem Mathekurs durcharbeiten, weil morgen Mathe ausfällt und wir das in der Freistunde mal machen können, weil die das ganze wohl genau so wenig verstanden haben wie ich. Das Grobe versteh ich jetzt mittlerweile, aber ich muss mich morgen früh nochmal dran setzten.
      Wenn sich noch Fragen stellen, was warscheinlich ist, dann werde ich die posten.

    • schau bei giles wie er es geschrieben hat. mit dem sum meine ich das summenzeichen ∑ das ich net noch extra suchen wollte. i ist dabei deine laufvariable die steht halt unten und wird dort initialisiert( hier i=1) und laeuft bis n(steht oben). zB: 1 + 2 + 3 + .. + k = ∑i ,mit i=1 und oben n. Die Grenzen habe ich halt in eckige Klammern hintendran geschrieben und das Argument in runde. Das ist eig nur eine Abkürzung. Der Wiki-Link dazu ist der hier.

      de.wikipedia.org/wiki/Summenze…umme_einer_Folge.2C_Reihe

      Den Rest findest du in giles pdf Datei.
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