den größtmöglichen Flächeninhalt (von einer fläche innerhalb einer Kurve/mehreren Geraden)ermittelt man mit Integralrechnung, soviel weiss ich ncoh aus meiner Schulzeit *g* dann hörts auf ^^

is garnichmal so einfach...ich glaube mit schulmathe kommt man da nicht ans ziel. muss man denk mit lagrangemultiplikatoren machen. du machst dir ne normale flächeninhaltsberechnung über drei punkte (s nicht so schwer wenn gleichseitig)
dann hast du ich denke mal 5 nebenbedingungen und 6 variablen (x,y)-koordinaten jeweils.
wenn du willst kann ichs an nem einfachen zahlenbeispiel verdeutlichen. aber wenn du nix von lagrange gehört hast geht das denke ich nur schwer.

dann kannst ads wohl nicht lösen. das mit kreisen klappt nicht.
ein anderer weg fällt mir grad nicht ein und vorgerechnet bekommen willst du es ja nicht und ehrlich egsagt hab ich auch keine lust.
kann dir aber die gleichung und nebenbedingungen aufschreiben.

könnte man einfach nicht berechnen wann die seiten ihre maximale länge haben ?? das wäre für mich grad der einfachste weg ohne wirklich eine ahnung zu haben wie ich das berechne. wie kann ich die koordinaten in einen koordinatensystem eingeben?? zb mit cad

Nur so ein spontaner Ansatz: Wenn man eine Gerade (a) durch zwei Punkte P1 und P2 führt, kann man mit dessen Normalen auf der Mitte dieser Strecke eine Gerade erstellen (b), die "parallel" zwischen den beiden Punkten durchläuft. Dann so Bedingungen wählen, dass die Dreieckseiten (c) und (d), die durch diese jeweiligen Punkte laufen, diese parallele Gerade (b) im 30° Winkel schneiden, somit hast du in diesem Schnittpunkt den ersten Punkt des gleichseitigen Dreiecks mit maximalem Flächeninhalt. Dann schauen, wo die dritte Dreieckseite beginnt, indem man eine zu der Verbindungsgeraden (b) parallele, durch P3 laufende Gerade (c) konstruiert und sie mit den beiden anderen Dreieckseiten (c) und (d) schneiden lässt.
Das müsste funktionieren, oder? kA, hab nur kurz überlegt, vielleicht gibt's auch ne kürzere Methode.

tromelow du legst die eckpunkte auf die gerade durch zwei vorgegebene punkte. das ist nicht gefragt. die vorgegebenen punkte sollen auf deinen seiten liegen!
das mit der maximalen länge einer seite bringt dich auch nicht weiter, weil du seht viele nebenbedingungen hast. deine maximierungsfunktion ist dabei das geringste übel.

Nein, so wie ich das meine, müsste das klappen. Ich mach mal eben ne epische paint-skizze, moment.
Also: Dadurch, dass die Geraden (c) und (d) im Winkel von 30° von (b) abgehen müssen, ist gesichert, dass das Dreieck in jedem Fall gleichseitig ist. Die Punkte P1, P2, P3 liegen somit auf dem Dreieck, ohne die Eckpunkte zu bilden. Da die Punkte fest vorgegeben sind und das Dreieck gleichseitig sein muss, muss das von mir gefundene Dreieck das größtmögliche sein. Die dritte Dreiecksseite lässt sich natürlich auch anders berechnen, da sie ja genauso groß sein muss wie die anderen beiden. Trotzdem ist meine im Bild veranschaulichte Lösung in jedem Fall richtig, wenn ich die Aufgabe nicht falsch verstanden habe.

gibt es nicht sowieso nur EIN dreieck das
1.) gleichseitig ist
2.) von dem jede Seite auf einem der drei Punkte liegt

Damit könnte man das Thema Extremwert doch ausschließen oder?

auf die idee zu kommen das es nur ein dreieck gibt was die die bedingungen erfülllt wäre ich nicht darauf gekommen, habt ihr konkrete beweise?? ich bin mir da nämlich nicht zu 100% sicher.

Stimmt, habe mir mal überlegt, dass es natürlich unendlich viele gleichseitige Dreiecke geben könnte, deren Seiten die jeweiligen Punkte beinhalten. Was haben wir denn bisher? (ich benenn jetzt nochmal alle Geraden neu)
P1 Є a
P2 Є b
P3 Є c
a schneidet b
b schneidet c
c schneidet a
a steht im 60° winkel zu b und c
b steht im 60° winkel zu a und c
c steht im 60° winkel zu b und c

Ein anderer Ansatz könnte sein, erst einmal eine beliebige Gerade c (also liegt P3 auf ihr) zu konstruieren und dann eine Gerade daraufzulegen, die im 60° Winkel von ihr liegt und entsprechend P1 oder P2 schneidet; die dritte Gerade ergibt sich dann ganz logisch. Hab zwar nur ein bisschen bei paint rumskizziert, aber ich hab 3 verschiedene richtungen für c probiert, und in jedem Fall scheint die Kathete gleichlang zu sein - Zufall, ungenaues Zeichnen oder mathematisch begründet? Wenn dem so ist, müsste man das noch für unterschiedliche Punktkonstellationen nachweisen und man könnte nachweisen, dass es unendlich viele gleichseitige Dreiecke mit "maximalem" Flächeninhalt gibt.

Edit: @Anduriel: Doch klar, es ist nur eine Skizze - die Winkel stimmen natürlich überhaupt nicht mit den eigentlich benötigten überein. Wenn die beiden seitlichen geraden (c) und (d) aber wirklich im 30° Winkel von (b) liegen, dann wird daraus 100% ein gleichSEITIGES dreieck, nur gibt es wie gesagt unendlich viele Möglichkeiten, ein derartiges Dreieck zu konstruieren (zB indem man die Orthogonale der Geraden durch P2 und P3 wählt etc pp).
Vielleicht hilft mal noch jemand beim brainstormen

also mein theoretischer beweis dafür dass es nur eins geben sollte:
Je einfacher ein dreieck/viereck etc desto höher der flächeninhalt, soll heißen, ein quadrat hat von allen rechtecken den höchsten flächeninhalt, demnach das gleichseitige dreieck bei gleicher seitenlänge ebenso.
Also sage ich, theoretisch ist das Gleichseitige Dreieck bei einer Extremwertaufgabe das mit dem Maximalen Flächeninhalt, wenn ihr versteht was ich meine.^^
die einzige möglichkeit ein Dreieck auf diese 3 punkte mit höhrem flächeninhalt zu bauen wäre die, dass zwei punkte auf der selben seite liegen, was aber laut aufgabenstellugn ausgeschlossen ist.

Zudem habe ich mir überlegt, dass ein gleichseitiges dreieck immer ein gleichschenkliges ist, das heißt dass die summe der steigungsfaktoren aller drei funktion den jeweiligen seiten = 0 ist (Bitte um Gegenbeweis sofern ihr einen habt, ist nur eine Theorie). Damit kann man schonmal ein paar dreiecke ausschließen, jedoch fehlen mir noch ein par einzigartigkeiten vom gleichseitgen Dreieck.

dein weg hätte drei verschiedene lösungen. es ist nicht garantiert, dass auch nur eines davon die gewünschten eigentschaften besitzt...sie sind alle gleichseitig und haben die gewünschten punkte auf den seiten und jetzt?
du hast gezeigt, dass du ein gleichseitiges dreieck konstruieren kannst, dessen seiten auf 3 punkten liegen!

wie willst du auf diese 3 punkte drei verschiedene gleichseitige dreiecke setzen?