Matheaufgabe für GeoCaching

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    • Matheaufgabe für GeoCaching

      Tja, ihr kennt es schon.
      Ich hab mir mal wieder einen Cache ausgesucht, der meinen Horizont übersteigt.
      Seit meinem Abitur hab ich mich nimmer mit Mathe auseinandergesetzt und weiß von daher nichtmehr so richtig, was zu tun ist.

      Hier der Cache:
      geocaching.com/seek/cache_deta…76-4ec4-9276-15f1988551bd

      Hier die Aufgabe:

      Gegeben sind 3 Punkte P1 P2 P3
      Jeder dieser Punkte soll jeweils auf einer von 3 Geraden liegen, die zusammen ein gleichseitiges! Dreieck bilden.
      Gesucht sind die 3 Eckpunkte A, B,C des Dreiecks mit dem maximalen Flächeninhalt.

      Skizze und Koordinaten der Punkte folgen noch per edit.


      Meine ersten gedanken waren, jedem Punkt eine Funktion zuzuweisen und dann Schnittpunkte durch gleichsetzen zu erhalten.
      Aber sicher bin ich mir da nicht gerade, ob das der richtige Lösungsansatz ist, da wir ja ein gleichseitiges Dreieck mit größtmöglichem Flächeninhalt suchen.
      Ich erwarte keine fertige Lösung, ein Denkanstoss wäre aber nett :)


      /Edit #1: mb Kreis um den Schnittpunkt von 3 funktionen, die jeweils durch die Punkte gehen?

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Anduriel ()

    • Hm, an integrale erinner ich mich auch noch, nur wüsste ich die hier nicht einzubringen, da fehlt mir einfach der Ansatz für ^^

      Kann ich die Koordinaten
      • N 50° 52.743' E 007° 03.938'
      • N 50° 50.614' E 007° 05.731'
      • N 50° 52.300' E 007° 09.926'

      Einfach so für ein Koordinatensystem übernehmen?

      zB P1 (2743/3938)
      P2 (614/5731)
      P2 (2300/9926)
    • Nimm dir 3 Lineale, zeichne drei Punkte auf ein Blatt Papier und probier es aus. Wenn du das erstmal gemacht hast, ist es gar nicht mehr so schwer ;) Dann sieht man locker worauf es ankommt.

      das mache ich meist im Kopf^^

      Meine Aktuelle Kopfzeichnung ist ein Dreieck mit den Punkten P1, P2, P3 als eckpunkten, um das ich einen kreis ziehe. Dieser Kreis bekommt dann 3 Tangenten, allesamt gleichlang, und fertig ist.
      Nur fehlt die Umsetzung :D
    • is garnichmal so einfach...ich glaube mit schulmathe kommt man da nicht ans ziel. muss man denk mit lagrangemultiplikatoren machen. du machst dir ne normale flächeninhaltsberechnung über drei punkte (s nicht so schwer wenn gleichseitig)
      dann hast du ich denke mal 5 nebenbedingungen und 6 variablen (x,y)-koordinaten jeweils.
      wenn du willst kann ichs an nem einfachen zahlenbeispiel verdeutlichen. aber wenn du nix von lagrange gehört hast geht das denke ich nur schwer.
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.
    • Das Problem an der Sache ist, dass das innere Dreieck, das aus P1,2 und 3 gebildet wird, nicht seitengleich ist.

      Somit ist die Idee mit dem Kreis glaube ich doch falsch.

      @Oster
      Leider hab ich davon wirklich noch nie was gehört


      Angehängt mal meine Skizze

      Grün = bekannt
      A = gesucht



      //lagrange klingt irgendwie nach einem überflüssig komplizierten weg :)
      Ich bin mir eigentlich recht sicher, dass diese Aufgabe mit Schulmathematik zu lösen sein sollte.
      Dateien
      • Dreieck.jpg

        (20,4 kB, 117 mal heruntergeladen, zuletzt: )
    • dann kannst ads wohl nicht lösen. das mit kreisen klappt nicht.
      ein anderer weg fällt mir grad nicht ein und vorgerechnet bekommen willst du es ja nicht und ehrlich egsagt hab ich auch keine lust.
      kann dir aber die gleichung und nebenbedingungen aufschreiben.
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.
    • Nur so ein spontaner Ansatz: Wenn man eine Gerade (a) durch zwei Punkte P1 und P2 führt, kann man mit dessen Normalen auf der Mitte dieser Strecke eine Gerade erstellen (b), die "parallel" zwischen den beiden Punkten durchläuft. Dann so Bedingungen wählen, dass die Dreieckseiten (c) und (d), die durch diese jeweiligen Punkte laufen, diese parallele Gerade (b) im 30° Winkel schneiden, somit hast du in diesem Schnittpunkt den ersten Punkt des gleichseitigen Dreiecks mit maximalem Flächeninhalt. Dann schauen, wo die dritte Dreieckseite beginnt, indem man eine zu der Verbindungsgeraden (b) parallele, durch P3 laufende Gerade (c) konstruiert und sie mit den beiden anderen Dreieckseiten (c) und (d) schneiden lässt.
      Das müsste funktionieren, oder? kA, hab nur kurz überlegt, vielleicht gibt's auch ne kürzere Methode.
    • tromelow du legst die eckpunkte auf die gerade durch zwei vorgegebene punkte. das ist nicht gefragt. die vorgegebenen punkte sollen auf deinen seiten liegen!
      das mit der maximalen länge einer seite bringt dich auch nicht weiter, weil du seht viele nebenbedingungen hast. deine maximierungsfunktion ist dabei das geringste übel.
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.
    • Nein, so wie ich das meine, müsste das klappen. Ich mach mal eben ne epische paint-skizze, moment.
      Also: Dadurch, dass die Geraden (c) und (d) im Winkel von 30° von (b) abgehen müssen, ist gesichert, dass das Dreieck in jedem Fall gleichseitig ist. Die Punkte P1, P2, P3 liegen somit auf dem Dreieck, ohne die Eckpunkte zu bilden. Da die Punkte fest vorgegeben sind und das Dreieck gleichseitig sein muss, muss das von mir gefundene Dreieck das größtmögliche sein. Die dritte Dreiecksseite lässt sich natürlich auch anders berechnen, da sie ja genauso groß sein muss wie die anderen beiden. Trotzdem ist meine im Bild veranschaulichte Lösung in jedem Fall richtig, wenn ich die Aufgabe nicht falsch verstanden habe.
      Dateien
      • dreieck.png

        (36,87 kB, 69 mal heruntergeladen, zuletzt: )

      Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von tromelow ()

    • Stimmt, habe mir mal überlegt, dass es natürlich unendlich viele gleichseitige Dreiecke geben könnte, deren Seiten die jeweiligen Punkte beinhalten. Was haben wir denn bisher? (ich benenn jetzt nochmal alle Geraden neu)
      P1 Є a
      P2 Є b
      P3 Є c
      a schneidet b
      b schneidet c
      c schneidet a
      a steht im 60° winkel zu b und c
      b steht im 60° winkel zu a und c
      c steht im 60° winkel zu b und c

      Ein anderer Ansatz könnte sein, erst einmal eine beliebige Gerade c (also liegt P3 auf ihr) zu konstruieren und dann eine Gerade daraufzulegen, die im 60° Winkel von ihr liegt und entsprechend P1 oder P2 schneidet; die dritte Gerade ergibt sich dann ganz logisch. Hab zwar nur ein bisschen bei paint rumskizziert, aber ich hab 3 verschiedene richtungen für c probiert, und in jedem Fall scheint die Kathete gleichlang zu sein - Zufall, ungenaues Zeichnen oder mathematisch begründet? Wenn dem so ist, müsste man das noch für unterschiedliche Punktkonstellationen nachweisen und man könnte nachweisen, dass es unendlich viele gleichseitige Dreiecke mit "maximalem" Flächeninhalt gibt.

      Edit: @Anduriel: Doch klar, es ist nur eine Skizze - die Winkel stimmen natürlich überhaupt nicht mit den eigentlich benötigten überein. Wenn die beiden seitlichen geraden (c) und (d) aber wirklich im 30° Winkel von (b) liegen, dann wird daraus 100% ein gleichSEITIGES dreieck, nur gibt es wie gesagt unendlich viele Möglichkeiten, ein derartiges Dreieck zu konstruieren (zB indem man die Orthogonale der Geraden durch P2 und P3 wählt etc pp).
      Vielleicht hilft mal noch jemand beim brainstormen :D
    • also mein theoretischer beweis dafür dass es nur eins geben sollte:
      Je einfacher ein dreieck/viereck etc desto höher der flächeninhalt, soll heißen, ein quadrat hat von allen rechtecken den höchsten flächeninhalt, demnach das gleichseitige dreieck bei gleicher seitenlänge ebenso.
      Also sage ich, theoretisch ist das Gleichseitige Dreieck bei einer Extremwertaufgabe das mit dem Maximalen Flächeninhalt, wenn ihr versteht was ich meine.^^
      die einzige möglichkeit ein Dreieck auf diese 3 punkte mit höhrem flächeninhalt zu bauen wäre die, dass zwei punkte auf der selben seite liegen, was aber laut aufgabenstellugn ausgeschlossen ist.

      Zudem habe ich mir überlegt, dass ein gleichseitiges dreieck immer ein gleichschenkliges ist, das heißt dass die summe der steigungsfaktoren aller drei funktion den jeweiligen seiten = 0 ist (Bitte um Gegenbeweis sofern ihr einen habt, ist nur eine Theorie). Damit kann man schonmal ein paar dreiecke ausschließen, jedoch fehlen mir noch ein par einzigartigkeiten vom gleichseitgen Dreieck.
      M74_Warmaster: "Der Pudge ist echt so ein noobhero!"
    • dein weg hätte drei verschiedene lösungen. es ist nicht garantiert, dass auch nur eines davon die gewünschten eigentschaften besitzt...sie sind alle gleichseitig und haben die gewünschten punkte auf den seiten und jetzt?
      du hast gezeigt, dass du ein gleichseitiges dreieck konstruieren kannst, dessen seiten auf 3 punkten liegen!
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.