Matheaufgabe für GeoCaching

mit deinem verfahren hast du zwei deiner punkte auf selber höhe in deinem gleichseitigen dreieck. du stellst also eine zusätzliche bedingung.

benutz einfach das was du tust und fange mit unterschiedlichen punkten an.

oder mach es anders...mal dir ein gleichseitiges dreieck auf...dann verteil die drei punkte irgendwie und benutz dein verfahren...leg dabei die punkte nicht auf gleiche höhe.

Wieso gehe ICH von 2 punkten auf einer ebene aus?

Ich habe mir jetzt auch überlegt die Funktionsgleichungen der drei seiten aufzustellen, die sind jeweils von 6Variablen abhängig. Drei davon kann man alleine mit den Punkten rausschmeißen, theoretisch müsste man ja durch gleichsetzen der drei Funktionen dann noch zwei weitere variablen rausschmeißen können und zu einer Zielfunktion für eine der Seiten kommen.


ps: wenn ich Müll schreibe sagt es, ich arbeite lediglich mit mathematischem Wissen bis Klasse11.

oster meint dass du dein verfahren auch auf noch 2 andere weisen durchführen kannst und dann hast du 3 dreiecke..

Meiner Meinung nach gibt es durch die Lage der Punkte nur eine Lösung. Durch die Einschränkung, das alle Seiten gleich lang sind und die darasu resultierenden 60° Innenwinkel kann es nur eine Lösung geben. Aber das ist nur meine Schlussfolgerung aus dem betrachten von einer gemachten Skizze.

Ist aber ne schöne Vermesseraufgabe, glaube mit Abi-Mathe wird das kaum machbar sein (no offense)

mfg
Coruscant

ich sage ja nicht, dass es nicht mit abimathe gehen KANN ich sag nur, dass alle bisherigen methoden keine lösung liefern und dass ich es mit lagrangeschen multiplikatoren machen würde, wobei ich denke damit mit kanonen auf spatzen zu schießen.
man hat halt allein für die gleichseitigkeit 2 gleichungen, dann dafür, dass die punkte auf den seiten liegen nochmal 6 stück und man muss 3 neue variablen einführen.

MS PAINT ftw

So dann geb ich dir mal den rechnerischen Ansatz für die Aufgabe.

Zuallererst muss ich mich revidieren, es gibt mehr als ein Dreieck was existiert:=)

Anweisungen sind bildlich zu sehen:

Also zu allererst konstruierst du das Dreieck A-P1-P2 mit Innenwinkel von 60° ( so das A entgegen P3 liegt)

Dann erweiterest du die Geraden A-P1 über P1 hinaus. Für P2 analog.

Jetzt eine Gerade mit 60° Neigung solange parallel verschieben, bis P3 darin enthalten ist.

Fertig ist das erste Dreieck ABC

Den Punkt A kannst du Koordinaten mässig jetzt bestimmen / berechnen. (erst Seiten von Dreieck A-P1-P2, dann Richtungswinkel und schließlich Koordinaten.) Die länge von a zu berechnen sollte jetzt kein Prob mehr sein ( ist aber nicht nötig, das es eh nicht die Lösungslänge ist )

Jetzt führst du ein neues Koordinatensystem ein, mit Punkt A als Ursprung (0|0) und zum Beispiel P2 mit (100|0)

Du führst jetzt eine Koordinatentransformation mit 2 identischen Punkten durch und bestimmst die Lage von P1 im neuen System damit. (wobei ich hier glaube, das da deine Schulbildung erstmal an die Grenzen stößt)
Kann da aber ne Buchseite einscannen falls nötig, wo der Vorgang drinne steht.

Als nächstes denkst du die eine beliebige Gerade durch den Punkt P2, die sich aber um den Winkel Alpha(Drehwinkel) von der jetzigen unterscheidet.

Von der Konstruierst du wieder eine Gerade mit 60 "Neigung" durch P1 und die Gerade durch P3 wieder mit Paralellverschiebung. Jetzt hast du wieder ein neues Dreieck. Das geht für jede belibige größe von Alpha, im Rahmen der Bediungen, das die Grenzsteine innerhalb der Seiten liegen müssen.

Die Länge der Seite a hängt also vom Drehwinkel Alpha ab.

a = f (alpha) ==>Was eine Extremwertaufgabe ist. Funktion für den Drehwinkel bilden.

Diese in die Flächenformel einsetzen F = Root(3) /4 * ( f(alpha) ) ²

Ableiten, Ableitung null setzen und Winkel für maximalste Lönge von a berechnen. Danach im neuen Koordinatensystem die Lage von den Dreiecksecken bestimmen. ( Aber A des Lösungsdreieckes ist nicht mehr der Koordinatenursprung, sondern der Ursprung bleibt beim ersten ersten Hiflsdreieck)

Jetzt die Lösungskoordianten zurücktransformieren und fertig.

Lösung etwas kryptisch, aber mit Skizzen wärs leichter als reiner Text.

mfg
Coruscant

scheint eine schöne lösung zu sein. interessant wäre ein beweis, dass das herauskommende dreieck wirklich die maximale fläche bringt. wikipedia ist da leider ein wenig unausführlich.

und coruscant was ist an deiner lösung bitte rechnerisch? du konstruierst doch das ganze geometrisch und berechnest dann den herauskommenden flächeninhalt oder übersehe ich da etwas?
für mich wäre rechnerisch ein lösen von einem gleichungssystem der ähnlichem.

Also Rechenschritte: Berechnung der Koordinaten von A im Dreieck A-P1-P2 unter Annahme von Innenwinkel = 60°

Einführung eines neuen Koordinatensystem mit A (0|0) und P2 (100|0)

Durchführung einer Transformation mit 2 identischenpunkten (2 Seiten Rechnung) um neue Koordinaten von P1 zu erhalten.

Einführung eines Drehwinkels Alpha an Punkt P2 um gedanklich verschieden große gleichseitige Dreiecke zu erzeugen.

Funktion aufstellen die a in Abhängigkeit vom Drehwinkel definiert.

Diese Funktion a = f (alpha) in die Dreiecksflächengleichung einsetzen==> F = Root(3) /4 * ( f(alpha) ) ²

Diese Gleichung ableiten und bestimmen für welchen Drehwinkel die Fläche Maximal wird. ( Extremwertaufgabe)

Mithilfe dieses Drehwinkels die Koordinaten des gleichseitigen Dreicks bestimmem im Hilfssystem.

Zum Abschluss die lösungskoordinaten ins Anfangssystem zurücktransformieren und dann auf Schatzsuche gehen.

Die ganzen anderen Sachen waren als Skizzen fürs bessere Verständnis zu sehen.

Ich habe keine Zeit den ganzen Kram zu rechnen, aber das ein möglicher Weg.

mfg
Coruscant

die lösung mit dem napoleon dreieck scheint ja zu funktionieren aber ist es wirklich das gesuchte dreieck mit der maximalen flächengröße ? leider konnte ich durch googlen nix finden

Irgendwelche Vorschläge für das größtmögliche?


/Coruscant, deine Rechnung führt würde wahrscheinlich zum gleichen Ergebnis wie meine Zeichnung führen, oder?
Wenn meine Zeichnung denn richtig durchgeführt worden ist.

Nein, die Rechnung von mir ist dadrauf ausgelegt, über ein beliebiges gleichseitiges Dreieck zum größtmöglichen gleichseitigen Dreieck per Extremwertrechnung zu kommen, was dann das gesuchte ist.

Wenn ich wirklick mal lange Weile und Zeit habe, dann rechne ich das, aber ich kanns in real wohl kaum überprüfen, lass das bei Köln sein soll.

mfg
Coruscant

also so wie ich das verstenden habe benutzt man ein hilfsdreick und geht dann die ortslinie der möglichen gleichseitigen dreiecke durch. also die strecke p1 p2 ist die basis des dreiecks. dann wird eine ortslinie durchwandert. die basis des tatsächlichen gleichseitigen dreiecks wird dann einfach durch den punkt p3 gelegt.
die ortslinie ist aber nicht so einfach. bei 90° wäre es der thaleskreis. bei 60° sollte das ein kreis um den schwerpunkt des gleichseitigen dreiecks mit basis p1 p2 und radius 2/3* strecke p1 p2
dann sollte man den flächeninhalt des gesuchten dreiecks als funktion in abhängigkeit vom winkel bei p1 beschreiben können.

So hier mal ne Skizze der Anordnung im Hilfskoordinatensystem. ( kleiner Fehler: P3 und P2 sind vertauscht)

Dabei ist das fette durchgehende Dreieck das Grunddreieck, basierend auf der 60°-Annahme.

Das dünn durchgegehende Dreieck entsteht wenn man Alpha bzw die Gerade durch P2 im Uhrziegersinn laufen lässt.

Das Gestrichelte wenn entgegen dem Uhrzeigersinn.

Von diesem Alpha hängt die Größe der Seite a ab.

Den Winkel für Maximum berechnen, dann Koordinaten des Lösungsdreiecks im Hilfssystem berechnen und dann fix ins Originalsystem rübertransformieren.

mfg
Coruscant

Hallo Dotasource. Der Lösungsweg den ich damals beschrieb, war prinzipiell richtig, hört aber da auf, wo es schwierig wird. Wie damals angekündigt: wenn ich Zeit habe, berechne ich die Aufgabe. In diesem Sinne spiele ich diese Karte aus:
















Weiter gehts mit Teil 2....