Konvexe Funktionen

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    • Konvexe Funktionen

      Ich hänge gerade an ner Aufgabe, vielleicht kann mir hier ja wer weiterhelfen.



      Es geht nur um die c), mir fehlt da irgendwie der Ansatz. Mit dem Differentialquotient aus b) kann ich ja auf die 1. Ableitung schließen, aber wie kann ich dann eine Aussage über die 2. Ableitung machen? Kann ich da nochmal irgendwie den Differentialquotent bilden oder soll ich irgendwie zeigen, dass die 1. Ableitung monoton wachsend ist?

    • Oh, tatsächlich. Danke, aber da hätte ich ja auch mal selber drauf kommen können.
      Aber warum genau brauch ich beide Ungleichungen, würde eine alleine nicht reichen? Bzw. was genau meinst du mit h < 0 und h > 0, argumentiert man hier nicht mit der Defintion der Ableitung als Differentialquotient?
      Und noch eine letzte Frage, wenn ich sage, dass der Differenzenquotient monoton wächst, kann ich das genauso auf die Ableitung übertragen, also (bei der linken Ungleichung) lim x->a bzw. lim b->a ändern nichts an der Ungleichung?

    • das problem ist, dass eine konvexe funktion zwar stetig, aber nicht unbedingt stetig differenzierbar ist, d.h. sie kann "knicke" haben deshalb muss man aufpassen, dass man über die grenzwerte nur in bestimmten fällen aussagen machen kann. wenn deine funktion allerdings wie in c) zweimal diffbar ist, kannst du egal von welcher seite grenzwerte bilden.
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.

    • Ok ich glaube ich habs kapiert, ich setze einmal h1 = a-x und h2 = a-b und kriege (f(x+h1)-f(x))/h1 <= (f(b+h2)-f(b))/h2 für h1, h2 < 0
      Und andersrum für h3 = b-a und h4 = b-x > 0, richtig?

      €: Hmm, darf ich mein h überhaupt irgendwie setzen, wenn ich es für die Ableitung eh gegen 0 laufen lassen muss? Das sieht so schön aus, was ich mir überlegt habe, aber ich bin mir gerade unsicher, ob das auch nen Sinn ergibt.
      Aber anders weiß ich nicht, wie ich das für h < 0 und h > 0 zeigen soll. Help :/

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von mallegrins ()

    • es geht nicht darum, wie du dein h setzt.
      du hast gegeben, dass dein f zweimal differenzierbar ist. also kannst du aus der b) sehen, dass für alle a<b die relation gilt (f(a)-f(x))/(a-x)<=(f(x)-f(b))/(x-b)
      wegen zweimaligen differenzierbarkeit ist deine ableitung stetig, also kannst du deinen limes bilden, also kannst du aus der ungleichung f'(a)<f'(b) ablesen.
      hierbei ist es egal von welcher seite du eben gegen a, bzw. b gehst.

      ich hoffe das ist vielleicht etwas klarer formuliert.
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.

    • Okay, ich hab die Aufgabe jetzt mit Hilfe des Mittelwertsatzes gelöst, sollte ja eigentlich auch korrekt sein (oder?):
      Es gibt eta1€ (a,x) und eta2 € (x,b), sodass gilt (f(x)-f(a))/(x-a) = f'(eta1) <= f'(eta2) = (f(b)-f(x))/(b-x)
      und weil a,b € I beliebig gewählt dürfen und die Ungleichung dann für alle x € (a,b) gilt, gilt für alle eta1, eta2 € I: eta1 < eta2 => f'(eta1) < f'(eta2), also ist f' auf I monoton wachsend.


      Darauf, dass ich wegen der stetigen Ableitung auch den Limes bilden kann ohne dass sich die Ungleichung ändert, bin ich so nicht gekommen bzw. ich war mir nicht sicher, ob ich das nicht noch formal hätte zeigen müssen.
      Danke auf jeden Fall :)

    • damit zeigst du es eigentlich nicht wirklich, da du nur bestimmte punkte rausbekommst. es wird zwar garantiert, dass du eines findest, aber es gilt nicht unbedingt, dass es zu jedem eta einen differenzenquotienten gibt, für den die werte übereinstimmen. dafür müsstest du wieder mit stetiger differenzierbarkeit argumentieren.
      Eine richtige Antwort ist nicht immer eine gute Antwort.

    • roflgrins schrieb:

      Oh, tatsächlich. Danke, aber da hätte ich ja auch mal selber drauf kommen können.
      Aber warum genau brauch ich beide Ungleichungen, würde eine alleine nicht reichen? Bzw. was genau meinst du mit h < 0 und h > 0, argumentiert man hier nicht mit der Defintion der Ableitung als Differentialquotient?
      Und noch eine letzte Frage, wenn ich sage, dass der Differenzenquotient monoton wächst, kann ich das genauso auf die Ableitung übertragen, also (bei der linken Ungleichung) lim x->a bzw. lim b->a ändern nichts an der Ungleichung?
      es ist in diesem fall das gleiche, da f zweifach diffbar ist (was ich überlesen habe).
      hätte man dies nicht angenommen, bekäme man die allgemeinere aussage, dass der differenzenquotient monoton wächst.
      dort hätte es in dem fall den oster beschrieben hat (ein knick) hätte es zu verschiedenen differenzenquotienen für h (oder [delta] x) größer / kleiner 0 kommen können, die aber trotzdem die geforderte bedingung erfüllen.
      generell ist der differenzenquotient im gegensatz zur ableitung ein allgemeiner begriff, da er nicht eindeutig sein muss.

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