Vektoren: Basis, Erzeugendensystem

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    • Vektoren: Basis, Erzeugendensystem

      Ooookay, here I go again:

      Gegeben seien die Vektoren
      v1 = ( 3, 0, 3 ,6)
      v2 = ( 2, -1, 1, 2)
      v3 = (-1, 1, 0, 0)
      v4 = ( 0, 1, 2, Pi)
      v5 = ( 2, 1, 4, 4+Pi)

      Hab ich bereits bewiesen:
      v1, v2, v4 sind l.u.
      v3 = 1/3 v1 - v2
      v5 = 2/3 v1 + v4

      Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Antwort (gegebenerfalls mit einer Rechnung):
      a) Die Vektoren v1, v2, v4 bilden ein Erzeugendensystem von R³
      b) Der Vektorraum L (v1, v2, v3, v4, v5) hat Dimenson 3.


      zu a) Ich hätte stumpf gesagt, wenn gilt, dass v1, v2 und v4 linear unabhängig sind, dann bilden sie ein Erzeugendensystem von R³
      Sie sind l.u. --> Aussage ist wahr

      zu b) da es nur drei linear unabhängige Vektoren besitzt (v1, v2, v4) hat der Vektorrraum L nur Dimension 3,
      denn v3 & v5 sind also l.a. / Linearkombinationen
      ---> Aussage ist also auch wahr.


      Sache ist die, ich habe andererseits viele Leute in meiner HM Gruppe, die vehement dafür sind, dass e) und f) falsch sind, bzw. es gibt da irgenwie keinen Konsens :D

      Da ist das Argument: da die Vektoren nicht in R³ liegen, können sie auch kein Erzeugendensystem von R³ bilden.
      bzw. sie sind aus R^4 und können zwar nen dreidimensionalen Unterraum von R^4 aufspannen.
      Aber nicht den R³ aufspannen, denn dieser besteht aus Vektoren mit 3 Einträgen.


      Kann mir hier jemand 'nen wenig Klarheit verschaffen? Zu Rechnen ist ja quasi nichts, aber mir fehlt irgendwie das Verständnis :D

    • matthe schrieb:

      Wo nimmst du e) und f) her?

      Zu b) kannst du die entsprechende Matrix per Gaußverfahren umformen, das beweist auch praktisch, dass die Dimension 3 sein muss.

      Zu a)
      matheboard.de/archive/399877/thread.html

      Das hier... deine Frage, wird alles wunderbar erklärt.


      aH :D
      Im original waren es die Teilaufgaben e) und f), aber aufm board hab ich das als a) und b) geschrieben und dann im Anschluss verpeilt anzupassen, pardon!


      zu a)
      Ja, so dachte ich mir das anfangs auch, aber dann kam der Einwand, dass hier die Vektoren v1,v2,v3,v4,v5 jeweils 4 Einträge haben und eigentlich doch aus R^4 stammen?

      zu b)
      Ich weiß zwar nicht explizit was das Gaußverfahren ist, hab aber das LGS/Matrix auf seine Stufenform gebracht, hat "3 Stufen", sprich rgA = 3 --> 3linear unabhängige, + linearkombination von v3, v5 erkennbar. Soweit hab ich das auch.
      Mein Problem ist halt die Sache mit den 4 Einträgen der Vektoren und dass es nur um R³ geht :)

    • Nyakes- schrieb:

      zu a)
      Ja, so dachte ich mir das anfangs auch, aber dann kam der Einwand, dass hier die Vektoren v1,v2,v3,v4,v5 jeweils 4 Einträge haben und eigentlich doch aus R^4 stammen?
      Die drei Vektoren erzeugen definitiv NICHT den R³, da sich der ja über x-,y- und z-komponenten definiert, du aber hier noch eine vierte Komponente hast.
      Also würd ich Nein Antworten.
      (Soll wohl zur verwirrung sein, weil man ja 3 Vektoren mindestens braucht in einem Erzeugendensystem des R³)
      :thumbsup: Amtierende Best Witch DSDE 2015 :thumbsup:

    • :D :D Ja, damit beschäftigen wir uns seit ca 2 Tagen

      "3 l.u. Vektoren -> spannt einen Raum auf -> R³ = Dritte Dimension"
      versus
      "drei (l.u.) Vektoren erzeugen definitiv NICHT den R³, da sich der ja über x-,y- und z-komponenten definiert, du aber hier noch eine vierte Komponente hast."

      Du tendierst also eher dazu, dass die Aussage falsch ist, seh ich das richtig?

    • kommt hierbei darauf an, wie du R^3 siehst, drei l.u. vektoren spannen einen dreidimensionalen Vektorraum auf, da alle Komponenten der Vektoren aus R sind kann mans als R^3 sehen

      wäre meine spontane idee, wie genau der R^3 hier im höherdimensionalen Raum R^4 liegt spielt ja keine rolle (ist das 2-dimensionale koordinatensystem R^2 auf einem blatt papier auf einmal nicht mehr der R^2 wenn du das Blatt Papier in unserer dreidimensaionalen Welt schräg hältst?)

    • "3 l.u. Vektoren -> spannt einen Raum auf -> R³ = Dritte Dimension"

      what the fuck is das denn? nyakes du hast es doch schon richtig, wo gibts da überhaupt diskussionsbedarf? falls diese vektoren R^3 aufspannen würden, wäre es vielleicht gar nicht so schlecht wenn diese in R^3 enthalten sind. sind sie aber nicht. man kann mittels isomorphie von R^4 auf R^3 schließen, aber isomorphie ist keine identität..

    • Nyakes- schrieb:

      :D :D Ja, damit beschäftigen wir uns seit ca 2 Tagen

      "3 l.u. Vektoren -> spannt einen Raum auf -> R³ = Dritte Dimension"
      versus
      "drei (l.u.) Vektoren erzeugen definitiv NICHT den R³, da sich der ja über x-,y- und z-komponenten definiert, du aber hier noch eine vierte Komponente hast."

      Du tendierst also eher dazu, dass die Aussage falsch ist, seh ich das richtig?

      Jo, bzw keine Tendenz, fakt ;)

      Das oben war etwas durhceinander gewürfelt (auch @Saga) sry ^^
      :thumbsup: Amtierende Best Witch DSDE 2015 :thumbsup:

    • Saga q8D schrieb:

      "3 l.u. Vektoren -> spannt einen Raum auf -> R³ = Dritte Dimension"

      what the fuck is das denn? nyakes du hast es doch schon richtig, wo gibts da überhaupt diskussionsbedarf? falls diese vektoren R^3 aufspannen würden, wäre es vielleicht gar nicht so schlecht wenn diese in R^3 enthalten sind. sind sie aber nicht. man kann mittels isomorphie von R^4 auf R^3 schließen, aber isomorphie ist keine identität..


      Ogelle!
      Also korrigier ich das mal schnell in a) falsch und b) richtig um, gut, dass ich wegen der a) nochmal nachgefragt hab :)

      Vielen Dank euch allen!

    • warum sollte das eine Rolle spielen; viel wichtiger: wofür sollte es eine rolle spielen? :) ich nehme mal an du hast richtig nachgeweisen, dass der raum den sie aufspannen die dimension 3 hat (ich nehme mal an, über dem körper R sei vorausgesetzt). dann folgt daraus lediglich, dass sie nicht den gesamten R^4 aufspannen, sondern nur einen Unterraum dessen.

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