Mathe Aufgaben Thread

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    • Ich revive mal den Thread hier, hab ein Problem in LinA 1 für Ingenieure und muss morgen abgeben:

      Gegeben sei die Matrix
      A=
      0i
      00 €C 2,2 (Element der komplexen Zahlen hoch 2,2-> als 2x2-Matrix)
      sowie die Menge M=I2 (index2); A; A²

      a) Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span (M) ein Teilraum der komplexen 2x2 Matrizen ist.
      b) Zeigen Sie, dass die Vektoren in M linear abhängig sind.
      c) Zeigen Sie, dass {I (index2), A} C M ein Erzeugendensystem von span (M) ist.
      d)Bestimmen Sie eine Basis von span (M) und geben Sie die Dimension von span (M) an.


      Wir haben bisher ausschließlich mit Teilraumkriterien argumentiert, bei b) vermute ich, dass ich einfach nur schreiben muss, dass alle Vektoren mit dem Nullvektor (A²) l.a. sind?
      Bei c) und d) hab ich bisher keinen Ansatz :/

      Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von Nigma.wolliver twist ()

      we do not sow
    • Bei c) musst du a) vorraussetzen [also span(M) ist UVR von (C] und zeigen, dass sich A² aus A und I_2 erzeugen lässt. => Teilmenge ist Erzeugendensystem (und b) ist direkt auch gezeigt)

      Bei d) Erzeugendensystem ist bereits gezeigt in c). Bleibt nur noch ein weiteres Kriterium für die Basis zu prüfen.

      Gruß
    • Also ich weiß nicht genau was du unter Teilraumkrit kennst, kann sein, dass du meine Antwort nicht benutzen kannst. Aber:

      a) jede lineare Hülle von Vektoren (hier Matrizen im Vektorraum Mn(C), also "span", ist UVR.
      b) I2 soll die Einheitsmatrix sein oder? Dann sind in der Menge M eig nur I2 und A und die 0 Matrix, da A^2 = 0 Matrix. Tja und die 0 Matrix ist die "0" in Mn(c) und die ist zu jedem Vektor lin. abh.
      c) siehe b), weglassen von Lin abh Vektoren ändert nichts an der Lineare Hülle.
      d) A und I2 sind offensichtlich lin unabh. => dim = 2 und die beiden bilden ne Basis (sind ja nach c) auch erzeugend)

      Wie gesagt, ich weiß nicht ob du die notwendigen Sätze für die Begründungen schon hattest.
    • Sustanon:
      Okay, wie kriege ich aus

      0i
      00 (A) und

      00
      00 (A²)

      10
      01 (I_2) raus? Verstehe nicht wie das gehen soll.




      SpeLL-:
      Wie begründe ich das? Unsere Kriterien sind


      (i)T ist nicht leer. (->Test mit Nullvektor)
      (ii) Für alle u; v 2 T ist u + v wieder in T. (->Additivität)
      (iii) Für alle v € T und alle alpha € 2 R ist alpha ⃗v wieder in T (wenn v in t dann auch alphaxv in T)

      Genau damit soll ich eben nicht argumentieren. irgendwie begründen muss ich das aber schon, ich glaube "jeder span ist auch UVR" reicht nicht :/

      I_2->Einheitsmatrix bei 2x2, ja. Das hatte ich im Eingangspost auch vermutet, danke.

      Für c) fehlt mir leider noch eine Erklärung zu a).

      Edit: Bei a) reicht vermutlich:

      Span (M) ist ein Teilraum des Vektorraumes, da I_2, A, A² Matrizen € C^2x2 sind.

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Nigma.wolliver twist ()

      we do not sow
    • wolliver twist schrieb:

      Edit: Bei a) reicht vermutlich:

      Span (M) ist ein Teilraum des Vektorraumes, da I_2, A, A² Matrizen € C^2x2 sind.

      Nein das reicht leider nicht. Die einzelnen Matrizen alleine sind z.B. keine Teilräume, sondern nur in der Kombination aus den 3en. Um das nachzuweisen gibt es so einige möglichkeiten, die einfachste ist es die Kriterien anzuwenden. Da du das nicht darfst wirst du wohl einen bestimmten Satz gehabt haben, den du hier anwenden kannst.

      wolliver twist schrieb:

      Sustanon:
      Okay, wie kriege ich aus

      0i
      00 (A) und

      00
      00 (A²)

      10
      01 (I_2) raus? Verstehe nicht wie das gehen soll.

      Du sollst A² aus A und I_2 bilden. Da span(M) ein Untervektorraum und somit auch ein Vektorraum ist, darfst du z.B. Skalarmultiplikation mit einem Element des Körpers anwenden. (Das Ergebnis ist fast schon trivial)
    • Span ist ja jede mögliche Linearkombination (sagt dir das was?) der Elemente in der Menge (nach def!). So, und die Nullmatrix ist offensichtilich 0*A+0*I2, dh die Nullmatrtix ist schon im span von A und I2 (Das ist wirklich trivial^^). Also ist span(M) = span(A,I2) => A,I2 erzeugt span(M).
      Sorry, bin raus. Kann dir da schlecht helfen, da mir schon mehr Sätze/Dinge bekannt sind.
    • Ist wohl zu spät
      :D

      aber C(t)=(cos(t), sin(t)) mit 0<=t<2Pi parametrisiert den Einheitskreis bzw einen Zeiger konstanter Länge 1 (sqrt(sin^2(t)+cos^2(t))=sqrt(1)=1 für alle t), der für t=0 vo Ursprung auf (1,0) zeigt und sich von 0 bis 2Pi einmal ganz im Kreis gegen den Uhrzeigersinn dreht.
      Jetzt willst du den Kreis doppelt so groß (und gleichmäßig mit dem Faktor a gestreckt), also
      sqrt(a^2*sin^2(t)+a^2*cos^2(t))=sqrt(a^2*1)=a :=2
      Außerdem soll der Kreis um den Mittelpunkt (2,0) laufen, das heißt, jeder Kurvenpunkt muss um 2 in x-Richtung verschoben werden. Also +(2,0).
      Und du willst nur die obere Hälfte des Kreises, also läuft t nicht bis 2Pi, sondern nur bis Pi. (C(Pi) ist gerade der Zeiger (-1,0))

      Das ist mathematisch u.U. nicht ganz richtig, so stell ich mir das aber vor :)
      Wie liefs?
      Sometimes glass glitters more than diamonds because it has more to prove.


      -- Terry Pratchett
    • Im Nachhinein nochmal vielen Dank, und ein neues Problem:

      Es sei f: ]0;1] -> R, x-> (e^x - 1)/x
      Bestimmen sie lim x von oben gegen 0 von f(x)

      a) mit dem Mittelwertsatz
      b) mit der Regel von l´Hospital.

      Bei b):
      f´/g´= e^x->1/1 also klar.
      f/g ist aber (e^x-1)/x, wobei der Zähler gegen 0 geht (e^x->1), während x gegen 0 geht, geht dann der gesamte Ausdruck gegen 1?

      Bei a) habe ich keinen Ansazu :/
      we do not sow
    • zum mittelwertsatz kann ich dir auch nicht helfen (würde mich aber auch interessieren) aber l'hospital hast du doch richtig gemacht:

      lim(x->0) (e^x - 1)/(x) = lim(x->0) (e^x)/(1) = 1

      diese umformung ist laut l'hospital zulässig, da im grenzwert quasi 0/0 steht (auch bei unendlich/unendlich), sowie zähler und nennerfunktion an der stelle differenzierbar sind.
    • Serakh schrieb:

      Ist wohl zu spät
      :D

      aber C(t)=(cos(t), sin(t)) mit 0<=t<2Pi parametrisiert den Einheitskreis bzw einen Zeiger konstanter Länge 1 (sqrt(sin^2(t)+cos^2(t))=sqrt(1)=1 für alle t), der für t=0 vo Ursprung auf (1,0) zeigt und sich von 0 bis 2Pi einmal ganz im Kreis gegen den Uhrzeigersinn dreht.
      Jetzt willst du den Kreis doppelt so groß (und gleichmäßig mit dem Faktor a gestreckt), also
      sqrt(a^2*sin^2(t)+a^2*cos^2(t))=sqrt(a^2*1)=a :=2
      Außerdem soll der Kreis um den Mittelpunkt (2,0) laufen, das heißt, jeder Kurvenpunkt muss um 2 in x-Richtung verschoben werden. Also +(2,0).
      Und du willst nur die obere Hälfte des Kreises, also läuft t nicht bis 2Pi, sondern nur bis Pi. (C(Pi) ist gerade der Zeiger (-1,0))

      Das ist mathematisch u.U. nicht ganz richtig, so stell ich mir das aber vor :)
      Wie liefs?


      Lief total beschissen bei mir, die Quadriken Aufgabe hatte ich den Ansatz richtig,... dann mittendrin abgebrochen, weil komisches Sach raus kam (fand die Matrix (an x2² = 3) schon total ugly)... im nachhinein halt richtig bitter...
      Bei dir schätze ich lief die top? :D
    • greystar_ schrieb:

      zum mittelwertsatz kann ich dir auch nicht helfen (würde mich aber auch interessieren) aber l'hospital hast du doch richtig gemacht:

      lim(x->0) (e^x - 1)/(x) = lim(x->0) (e^x)/(1) = 1

      diese umformung ist laut l'hospital zulässig, da im grenzwert quasi 0/0 steht (auch bei unendlich/unendlich), sowie zähler und nennerfunktion an der stelle differenzierbar sind.



      0/0 ist also zulässig? Okay, immerhin :D
      we do not sow
    • eben dafür ist doch hospital da
      eben wenn du einen grenzwert hast den du so formal nicht lösen kannst weil ein ausdruck wie 0/0 oder / herauskommt
      dann und dafür darfst du l'hospital anwenden

      was bei l'hospital rauskommt ist schon der eigentliche grenzwert (also die lösung), da musst du nix mehr rücktransformieren oder so