Matheaufgabe, need Help

Bgg · 28. April 2010, 20:33

Stellen sie eine möglichst einfache Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion in Linearfaktor- und Polynomdarstelung auf.

a) Eine gebrochenrationale Funktion hat eine Asympptote mit der Gleichung F*(x) = 2, außerdem Polstellen mit VZW bei x = 3 und x = -1. Der Graph berührt bei x = 1 die Abszissenachse.

b) Eine gebrochenrationale Funktion hat eine Polstelle ohne VZW bei x = 3 und eine hebbare Lücke bei x = -2 und eine Polstelle mit VZW bei x=1.

Ein kleines How to wäre auch hilfreich. Danke im Vorraus

Coruscant · 28. April 2010, 20:52

Wenn du sagst was VZW ist, helf ich dir.

mfg
Coruscant

Bgg · 28. April 2010, 20:53

Vorzeichenwechsel

Bloodmoon04 · 28. April 2010, 21:05

a) Gebrochen Rational heißt ja erstmal sie muss den therm 1/x enthalten in irgendeiner form.
Asymptote bei 2 heißt, der graf darf niemals den Wert 2 annehmen, d.h.:

f(x) = 1/x + 2 , denn da 1/x niemals den wert null annehmen kann für alle reellen zahlen, kann 1/x nicht null werden, d.h. f(x) kann nicht den wert 2 annehmen.

Polstelle bei x = 3 und = - 1 mit vorzeichenwechsel. Mit vorzeichenwechsel heißt, dein x bleibt ohne quadrat da stehen.
bei 3 und -1 heißt: 1/ (x-3) muss es geben für die Polstelle bei 3 und 1/(x+1) für die Polstelle bei -1.
Neue Funktion heißt also 1/(x+1) + 1/(x-3) + 2

So bei F(1) muss jetzt null rauskommen, es kommt aber: 2 raus
Was tun? Den Zähler verändern. zB in -2 / (x+1) + 2 / (x-3) + 2
Fertig sind wir f(x) = 2 + 2 (x-3) - 2 / (x+1)

die b) geht genauso, nur das bei der behenbaren lücke gilt Nullstelle des zählers = nullstelle des nennenrs und eine polstelle ohne VZW immer zB. 1/(x-1)² aussieht.

arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm ist übrigens ein nützlicher link

mfg

Sustanon · 28. April 2010, 21:11

Hallo,

Bloodmoon04 schrieb:

a) Gebrochen Rational heißt ja erstmal sie muss den therm 1/x enthalten in irgendeiner form.
Asymptote bei 2 heißt, der graf darf niemals den Wert 2 annehmen, d.h.:

f(x) = 1/x + 2 , denn da 1/x niemals den wert null annehmen kann für alle reellen zahlen, kann 1/x nicht null werden, d.h. f(x) kann nicht den wert 2 annehmen.

Polstelle bei x = 3 und = - 1 mit vorzeichenwechsel. Mit vorzeichenwechsel heißt, dein x bleibt ohne quadrat da stehen.
bei 3 und -1 heißt: 1/ (x-3) muss es geben für die Polstelle bei 3 und 1/(x+1) für die Polstelle bei -1.
Neue Funktion heißt also 1/(x+1) + 1/(x-3) + 2

So bei F(1) muss jetzt null rauskommen, es kommt aber: 2 raus
Was tun? Den Zähler verändern. zB in -2 / (x+1) + 2 / (x-3) + 2
Fertig sind wir f(x) = 2 + 2 (x-3) - 2 / (x+1)

die b) geht genauso, nur das bei der behenbaren lücke gilt Nullstelle des zählers = nullstelle des nennenrs und eine polstelle ohne VZW immer zB. 1/(x-1)² aussieht.

arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm ist übrigens ein nützlicher link

mfg

Die Funktion bei Aufgabe a) verstehe ich nicht ganz, entweder fehlen da Klammern oder sie ist einfach schlichtweg falsch.
Die einfachste Lösung dafür wäre (2*(x-1)*(x-1))/((x-3)*(x+1))
Im Zähler das (x-1)*(x-1) für das Berühren an der Stelle x=1; die 2* für das Positionieren der Asymptote und im Nenner das Multiplizieren von den Polstellen im ersten Grad, was einen Vorzeichenwechsel erstellt.
So habe ich zumindest die Aufgabe verstanden.

Gruß,
Sustanon

Coruscant · 28. April 2010, 21:30

Polstellen und net Nullstellen, sry .

Dennoch hebbare Lücke?

mfg
Coruscant

Bloodmoon04 · 28. April 2010, 21:31

Du weißt schon das unsere funktionen auf exakt das selbe hinauslaufen und eventuell auch identisch sind (habe jetzt keine lsut das umzurechnen), und dein e ist sicher nicht einfacher als meine^^

Coruscant · 28. April 2010, 22:20

Bloodmoon04: Haste dir mal deine Lösung angeschaut? Das haut vorn und hinten net hin, Lösung von Sustanon ist soweit richtig, wobei er sie in Linearfaktorenform angibt. Füf Polynomform musst du Zähler und Nenner noch ausmultiplizieren.

Da ich den Begriff hebbare Lücke net kenne bleibt b offen.

mfg
Coruscant

Kirdissir · 28. April 2010, 22:27

eine Hebbare Definitonslücke ist unmathematisch gepsrochen ein Ersatzpunkt in deinem Graph, der diesen zu einem stetigen machen würde.

Polstellen sind nicht hebbar, allerdings können Def-Lücken hebbar sein, falls Zähler und Nenner die gleiche Nullstelle haben

uhuu · 28. April 2010, 22:32

hebbare Lücke soll stetig behebbare Definitionslücke heißen denk ich mal

also (x+2)/[(x+2)*(x-1)*(x-3)²]

behebbar deswegen, da es eine stetige Fortsetzung gibt (x+2) kürzen
polstelle mit ungeradem Grad -> VZW
Polstelle mit geradem Grad -> kein VZW