Induktionsbeweis: k^n >/ n^k

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    • Induktionsbeweis: k^n >/ n^k

      Hallihallo Dotasource.de Community!
      Erneut bin ich im Begriff das Forum zu zweckentfremden :)

      Will mit einer vollständigen Induktion beweisen, dass
      k^n >/ n^k ;n e N, n >/ k (>/ soll "größergleich" bedeuten übrigens!)

      Und krieg das irgendwie nicht gebacken.... vllt. könnt ihr mir da weiterhelfen:
      Induktionsanfang mit n=k: A(k) ist natürlich 'ne wahre Aussage,
      aber wie mach ich das dann im Induktionsschluss mit n --> n+1?

      k^(n+1) >/ (n+1)^k

      Wollte das wie im angehängten Beispiel dann einfach "umformuliert" und dann via der Induktionsypothese, dass k^(n+1) = k * k^n >/ k * n^k
      und dann die Faktoren/Summanden der beiden Seiten miteinander verglichen.
      Aber daran hakt's aber schon

      Hoffmal einer kann mir weiterhelfen und es einigermaßen verständlichen verklickern :D
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    • die Aussage soll für alle n,k € N mit n >= k gelten oder?
      wählst du k=5 einfach willkürlich? mir ist nicht ganz klar was du auf dem blatt da genau machen willst :O

      wofür ist die aufgabe denn?
      wenn die leute hier so schulmathe posten (letztens das mit den würfeln) ist das meistens recht schnell erledigt, aber so ein beweis dauert seine zeit (und strengt an)...

    • @ ttalneuberg und incognito: da steht "n größergleich k" als bedingung, ihr witzbolde

      @rewahn: ich nehm an, dass das mit dem zettel ne andere aufgabe ist, die sie in der schule/uni vorher gemacht haben

      sollte dem so sein, muss doch einfach nur die 5 mit dem k ausgetauscht und genauso vorgegangen werden, oder nicht?

      also im ersten schritt wird geschaut, ob die ungleichung für n=k gilt, dann kommt der eigentliche induktionsschluß mit n=n+1

      Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von la* dowN ()

    • @ReWahn:
      Das im Anhang ist ein anderer Beweis (5^n >= n^5) Das hat also mit A(n): k^n >= n^k2 konkret nichts zu tun
      Hatte das als 'ne Aufgabe in meiner ersten Hausübung, was ich auch hinbekommen habe... dann wollte ich das eben mit "k" probieren und bin erstmal gescheitert :)

      In dem Sinne brauch ich jetzt auch keine Antwort bis morgen oder so, aber ich will wissen wie das funktioniert!!

    • ttalbneurg schrieb:

      la* dowN schrieb:

      @ ttalneuberg und incognito: da steht "n größergleich k" als bedingung, ihr witzbolde

      Und inwiefern widerspricht das unseren Beispielen?

      Wenn in deinem Beispiel n=3 und k=2 ist, seh ich nicht, warum du den Post überhaupt geschrieben hast und was das "?!" da implizieren soll.

      /edit: incognitos Beispiel hingegen scheint tatsächlich darauf hinzuweisen, dass ne Bedingung fehlt.

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von la* dowN ()

    • Hab hier meinen "Versuch" kurz auf'n Blatt geschrieben, weil ich das übers Forum so schlecht beschreiben kann :D
      Sry, wegen der miesen Handykam Quali, Scanner funzt net.


      Irgendwie steh ich aufm Schlauch, aber wie kann ich k mal n^k ausformulieren?
      Bsp:
      5 * n^5 wäre ja = n^5 * n^5 * n^5 * n^5 * n^5

      Aber wie mache ich das mit k * n^k?


      Edit: Bild 3
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      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Nyakes- ()

    • Ich denke, das hier sollte stimmen (edit:Binomialkoeffizienten vergessen, Korrektur, geht 100% auch irgendwie einfacher...):
      Lösung (mMn) im Spoiler, sonst als Tipp: überleg, wie (n+1)^k als Summe aussieht. (a+b)^n ist ja die Summe (i=0..n) (n über k) a^(n-i)*b^(i), für n=3 also a^3 + 3(a^2)b+3a(b^2)+b^3
      Spoiler anzeigen

      IA= k^(0)>/0^k -> 1>/0 Passt
      A(n)->A(n+1)

      zu zeigen ist k^(n+1) >/ (n+1)^k
      -> (k^n) *k >/ (n+1)^k,
      außerdem gilt (k^n)*k >/ (n^k)*k laut Annahme und Monotonie der Multiplikation mit einem Faktor >0 (?)
      Wir können die Aussage also über Transitivität (?)beweisen, wenn wir zeigen, (n^k)*k >/ (n+1)^k
      (n+1)^k können wir schreiben als Summe (i=0..k (k über i) n^(k-i) + 1^(i) laut Binomischem Formelgesetz (?)
      links vom Ungleichheitszeichen hast du jetzt k Summanden (n*n*n..*n), mit k Faktoren (jeder Faktor = n) in der Klammer. Rechts hast du, wenn du dir die Summe vorstellst als (k über 0)n^k+ (k über 1)n^(k-1) + (k über 2)n^(k-2) ... +(k über k)n^(0), eben entsprechend auch k Summanden, aber die sind jetzt (k über 0)(k mal n, ie. k Faktoren) im ersten Summand + (k über 1)*(k-1) Faktoren im zweiten Summand usw. Vergleicht man die Summanden, wird im i-ten Summenglied n^(i) auf der linken Seite durch (k über i) auf derrechten Seite ersetzt. (k über i)</k^(i) wegen Definition, k^(i)</ n^(i) da n>k lt Aufgabe, Monotonie des Quadrats(?). Also sind die Summanden rechts bis auf den ersten kleiner als links. Damit gilt (k^n)*k >/ (n+1)^k und damit A(n) qed.

      Bissl blöd, das so mit Text zu beschreiben, ich hoffe, du verstehst, was ich meine :)

      Dieser Beitrag wurde bereits 6 mal editiert, zuletzt von Himmelweiss ()

      Sometimes glass glitters more than diamonds because it has more to prove.


      -- Terry Pratchett

    • Ogelle, das mit der Aneinanderstellung / Vergleich der Summanden bzw. Faktoren will ich ja auch machen! :D

      Bei (n+1)^k wäre nach'm Binomischen Lehrsatz also das "letzte Folgeglied": (k über k-1) * n^k-(k-1) + 1^k --> einfach
      (k über k-1) * n^1

      Das will ich wiederrum mitm letzten Folgeglied von k * n^k vergleichen... aber was wäre da das Folgeglied? Einfach n^k??
      Da es eben k-mal: n^k * n^k
      ist.

      Okay, ist das der Fall habe ich nur ein kleines Problem:

      Wie schreibe ich das sinnvoll, und vorallem mathematisch korrekt hin, dass dieses Produkt nach'm k-ten Glied aufhört?
      Aber halt ohne Produkt/Summenzeichen :D

    • Schreib halt n^k+n^k+...+n^k und als Anmerkung mit geschweifter Klammer oder so, dass es k Summanden sind. Mathematisch sauber ist es halt als sum(n^k,j=1..k), kA warum du dich dagegen sträubst das zu benutzen, zumal du auf der anderen Seite der Gleichung auch eine Summe stehen hast.