Beweis für Polynomdivision zur Nullstellenberechnung

    • Beweis für Polynomdivision zur Nullstellenberechnung

      Guten Tag,
      hoffe hier sind paar gute Mathe-Leute dabei.
      Habe die Aufgabe bekommen, einen Beweis für das Verfahren der Polynomdivision zur Berechnung der Nullstellen eines Graphen zu finden,
      und der Klasse vorzustellen.
      Nur habe ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll, das das stimmt, da ich selber nicht ganz durchblicke, und nur weiß, wie man damit rechnet.
      Kann mir wer helfen?

      MfG

    • Die Polynomdivision verwendet man, um ganzrationale Funktionen mit einem höheren Grad als 2 zu lösen (die Nullstellen zu berechnen). Man muss zunächst eine Nullstelle durch (gezieltes) ausprobieren herausfinden und kann danach den Grad der Funktion um eins verringern, bis man irgendwann bei einer Funktion zweiten Grades ankommt, wo man PQ-Formel oÄ anwenden kann.
      Beispiel: 3x³+6x²-3x-6=0
      Durch gezieltes Ausprobieren kommen wir auf die erste Nullstelle x1=1
      Nun müssen wir die Ursprungsgleichung durch x-1 (1 ist die Nullstelle) teilen:
      (3x³+6x²-3x-6):(x-1)=3x²+9x+6
      Somit haben wir nun die erste Nullstelle sowie eine neue Form (3x²+9x+6), mit der wir weiter rechnen können. Sollten wir an dieser Stelle noch einen höheren Grad als 2 haben, verwenden wir die Polynomdivision erneut, bis wir den zweiten Grad erreichen (dort können wir mit PQ-Formel oder quadratischer Ergänzung den Rest bestimmen).
      T
      R
      I
      G
      G
      E
      R
      E
      D

    • Ja genau, das ist, wie man es rechnet.
      Und ich soll jetzt einen Beweis dafür rausfinden, wie es halt z.B. für den Satz des Pythagoras mehrere mathematische Beweise gibt, soll ich jetzt dafür auch einen rausfinden, und vorstellen, und das ist es, wobei ich Hilfe brauche.

      MfG

    • Link 3 versteh ich net, da ich das noch net hatte, Link 1 versteh ich auch net wirklich, kann mir den vielleicht noch wer leichter erläutern?
      Link 2 versteh ich net, wieso das ein Beweis für die Eindeutigkeit der Polynomdivision ist, und wieso es damit eindeutig ist, dass die damit ausgerechneten Werte die Nullstellen sind.

      MfG

    • #mathe @ quakenet, da wird dir geholfen! mir wurde ja jedenfalls immer geholfen^^da laufen die übelsten freaks rum, was mathe angeht ;)


      Guten Morgen an muh, sleepy, proudbavarian, seren, incognito, zinnsoldat, qory, juff, sic, banez-, arrow^gunz, cloud, zenarius, Tobi und den rest des DS-Stammtischs

    • mach deine has doch selber alter
      was hat das denn für einen mathematischen reiz wenn man BEWEISE nich selbst löst?!?!?!?!?!?
      <hiall> Nappo
      <hiall> ?????
      <@Nappo> SonnY lass mich in Frieden -_-
      <hiall> nope Nappo
      <hiall> ich werde dich so lange nerven
      <@Nappo> ich kann, will und werde dir jetzt nicht helfen :>
      <hiall> bis du mich bannst,
      <hiall> und dann wird mein trojaner aktiv
      * Nappo sets mode: +b *!*@bouncer.by.alexanderb.info
      * hiall was kicked by Nappo (sag das doch gleich)

    • Maxga schrieb:

      Saga^ schrieb:

      mach deine has doch selber alter
      was hat das denn für einen mathematischen reiz wenn man BEWEISE nich selbst löst?!?!?!?!?!?
      Ich merks mir, mr. alleskönner.

      MfG


      lese ich da etwas ein wenig Hass raus :D

      @Topic Ich hab keine Ahnung wovon du überhaupt redest. Ich weiß gar nicht warum so ein Quark überhauot erst lernen muss... Schule halt!!

    • Die Polynomdivision haben wir in der 11. Klasse gemacht und bewiesen und das war damals nicht so schwer... Nur der Beweis war irgendwie komisch und ich kenn ihn jetzt auch nur noch so von der Uni, also wie man das in diesen 3 Links sehen kann. Aber das ist Uni-Stoff und noch viel zu weit entfernt für dich.

      Ich bin mir zu 100% sicher, dass Ansätze zur Lösung irgendwie im Unterricht schon durchgenommen worden sind und du sie jetzt irgendwie richtig zusammen setzen musst.

      Bei dem altem Beweis habe ich irgendwie mit der Steigung agumentiert. Diese wird ja in einem kartesischem Koordinatensystem (x,y-Achse) mit so einem Steigungsdreieck berechnet (x-x0)/(y-y0)...

      Ich müsste da wenn schon meine Unterlagen nochmal durchsehen.

    • Hmm... das ist schon lange her... ich kann auch nur raten...
      Um zu zeigen, dass die Polynomdivision gültig ist reicht es glaub ich zu zeigen, dass das Ergebnis eindeutig und identisch ist. Der echte formale Beweis ist wie jeder allgemeine Beweis nicht ganz einfach zu verstehen und man muss etwas darüber meditieren, aber dann ist es klar. Ich weiß nicht genau was verlangt wird bei euch, aber die korrekten Beweise wurden ja schon als Links hier gegeben. Wenn du die verstanden hast (man muss sich einfach wirklich mal Mühe geben "wir hatten das noch nicht" funktioniert auch nicht das ganze Leben lang) dann kommst du vielleicht auf eine Idee wie man es einfacher (vllt. nicht ganz allgemein) beweisen könnte.
      Danach könntest du auf die Funktionsweise des Algorithmus eingehen, den man während des ausrechnens benutzt.
      So, mehr Zeit hab ich heute nicht mehr.

      edit: Die Idee hinter der Polynomdivision ist ja ein Polynom als mit einer extra Nullstelle "aufgepustet" anzusehen und diese dann zu entfernen.
      Necessity brings him here, not pleasure.

    • Naja ich weiß ja dassich die Nullstelle als linearfaktor abspalte, dass das Ergebnis richtig ist, sehe ich ja wennich die vereinfachte Form wieder mit dem Linearfaktor multipliziere und das Polynom rauskommt. Diesen Linearfaktor kann man ja immer abspalten, sodass man die Gleichungen eig. immer auf die Form bringen kann (x-x1)*(e*x^2+f*x+g).
      Somit ist die Polynomdivision ja nix anderes als das Ausklammern eines Linearfaktors aus dem Polynom oder?
      Soweit bin ich jetzt.
      Hilft mir aber nicht wirklich weiter, den Algorithmus zu beweisen, dassich erst immer die Potenz höchsten Grades durch x teile, und das Ergebnis mit ebendiesem Linearfaktor multipliziere, und von der Gesamtgleichung abziehe, bis 0 das Ergebnis ist.
      Mögliche Ansätze von mir, aber irgendwie komme ich nicht weiter:
      Ich lasse gelten, fass f(x) = 0 ist. Also muss mein Polynom mit abgespalteten Linearfaktor (x-x1)*(e*x^2+f*x+g) auch = 0 sein.
      Darum mache ich die Polynomdivision ausführen, biss 0 rauskommt bei f(x), da hört man ja auch auf.
      Ja weiter komme ich nicht, irgendwie kann ich den Gedanken net zu Ende denken, und ob die Ansätze richtig sind, bräuchte doch noch etwas Hilfe.

      MfG

    • giles schrieb:

      Hmm... das ist schon lange her... ich kann auch nur raten...
      Um zu zeigen, dass die Polynomdivision gültig ist reicht es glaub ich zu zeigen, dass das Ergebnis eindeutig und identisch ist. Der echte formale Beweis ist wie jeder allgemeine Beweis nicht ganz einfach zu verstehen und man muss etwas darüber meditieren, aber dann ist es klar. Ich weiß nicht genau was verlangt wird bei euch, aber die korrekten Beweise wurden ja schon als Links hier gegeben. Wenn du die verstanden hast (man muss sich einfach wirklich mal Mühe geben "wir hatten das noch nicht" funktioniert auch nicht das ganze Leben lang) dann kommst du vielleicht auf eine Idee wie man es einfacher (vllt. nicht ganz allgemein) beweisen könnte.
      Danach könntest du auf die Funktionsweise des Algorithmus eingehen, den man während des ausrechnens benutzt.
      So, mehr Zeit hab ich heute nicht mehr.

      edit: Die Idee hinter der Polynomdivision ist ja ein Polynom als mit einer extra Nullstelle "aufgepustet" anzusehen und diese dann zu entfernen.
      dein edit reicht als beweis vollkommen aus
      weiß nich was du hast
      <hiall> Nappo
      <hiall> ?????
      <@Nappo> SonnY lass mich in Frieden -_-
      <hiall> nope Nappo
      <hiall> ich werde dich so lange nerven
      <@Nappo> ich kann, will und werde dir jetzt nicht helfen :>
      <hiall> bis du mich bannst,
      <hiall> und dann wird mein trojaner aktiv
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    • Ihr müsst bedenken, ich hatte erst eine einzige Stunde zu dem Thema, ich weiß garnet was man wirklich bewirken will damit, und wie der Algorithmus funktioniert(Wie man durch das verfahren das gleiche macht, als wenn man durch (x+x1) teilen würde), da reicht MIR dieser Edit nicht als Beweis aus, da ich ihn auch erstmal verstehen muss, zumal das kein mathematischer Beweis ist.

      MfG

      Edit: Unserer Mathelehrer kennt den Beweis ja selber net, darum soll ich ihn erarbeiten und der Klasse präsentieren, und es so machen, das ers auch verstehtOo

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Maxga ()

    • Da ich zu früh in der Uni bin vertreib ich mir mal meine Zeit hier -.-
      Ich hab mir mal was überlegt (ich hoffe die Aufgabe war nicht zu heute, sonst ist es natürlich zu spät...):
      Sei f(x) ein Polynom und x1 eine bekannte Nullstelle. Sei g(x) die Lösung der Gleichung
      f(x)/(x-x1)
      also
      g(x)*(x-x1)=f(x)
      im Fall f(x)=0 ist f(x) genau dann 0 wenn
      g(x)*(x-x1)=0
      ein Produkt ist genau dann 0 wenn einer der Faktoren 0 ist, also g(x)=0 oder (x-x1)=0. Die Lösungen der Gleichungen sind also identisch.
      Zum Verfahren der Polynomdivision gibts nicht viel zu sagen, da es exakt das gleiche ist wie schriftliche Division (sollte seit der Grundschule geläufig sein, falls nicht hier mal reinschaun) nur dass man halt mit einem Unbekannten rechnet.

      Das dürfte eigentlich als Beweis für die Schule reichen.

      Edit: Du musst natürlich beachten, dass die Lösung nicht immer endlich ist, besonders wenn du eine Falsche Nullstelle annimst.
      z.B. ist (1-x)/(1+x)=1-2x+2x^2-2x^3+2x^4....... eine unendliche Potenz-Reihe anstatt einer "vernünftigen" Lösung.

      Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von giles ()

      Necessity brings him here, not pleasure.

    • Ok vielen Dank für die Hilfe, und nein, es war nicht umsonst, ist zu Montag.
      Eine letzte Frage noch:
      Was meinst du mit, man stellt sich eine zusätzliche Nullstelle bei der Polynomdivision vor? (Wie gesagt, ham das ganze in der Schule noch kaum besprochen)

      MfG

      Edit: Noch eine Frage, ja stimmt es ist wie bei der schriftlichen Divison, aber eins wundert mich. Bei der schriftlichen Divison teilt man normalerweise durch den ganzen Divisor, bei der Polynomdivison aber nur durch x, und nicht z.B. durch (x-1), wieso?