Beweis für Polynomdivision zur Nullstellenberechnung

    • giles schrieb:

      ...

      edit: Die Idee hinter der Polynomdivision ist ja ein Polynom als mit einer extra Nullstelle "aufgepustet" anzusehen und diese dann zu entfernen.
      Da schreibt er es.
      Und naja, wenn man am Anfang meinetwegen x^5 hat, dann teilt man dieses doch nur durch x, und schreibt rechts vom Gleichheitszeichen x^4 hin.
      Bei der schriftlichen Division würde man aber doch x^5 durch den ganzen Divisor teilen, also durch (x-x0). Das verstehe ich net genau.
      Ach, und noch etwas, wie kann ich beweisen, dass wenn ich ein Polynom von Grad n, durch ein Polynom von Grad 1, dass die Nullstelle enthält, teile(x-x0), ein Polynom vom Grad n-1 rauskommt?

      MfG

    • Ah ok, danke.
      Jetz fehlen mir noch 1 Sache:
      Wieso man wie gesagt net durch den ganzen Divisor teilt, sondern nur durch x?

      MfG

      Edit: Ich hab das richtig verstanden oder? Als Beweis wieso man durch die Nullstellen teilen muss, und net durch irgendne andere Klammer, wo bei einer bestimmten Einsetzung 0 rauskommt, weil man ja die 2. Klammer von der 1. abspaltet und bei einem Polynom gibt es ja nur die Nullstellen, wo in der Klammer bei Einsetzung 0 rauskommt, oder?

    • man teilt anfangs durch die hoechste potenz des divisors bekommt dann das raus mit was man multiplizieren muss, multipliziert dann den den gnazen divisor mit dem wert und zieht dann alles ab
      Take your time, don't live too fast. Troubles will come and they will pass.

    • noch zu deiner 2. frage im edit, wenn du durch iwas teilst was keine nullstelle ergibt, dann bekommst du im 2. faktor einen bruch dessen deflücke gerade an der stelle liegt wo der 1. faktor den du ausgeklammert hast 0 wird
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    • Hm ok , dann muss ich mich wohl damit hingeben, dassich das net beweisen kann, wieso man nur durch x, und net durch den ganzen Divisor teilt, wenn wer noch weiß, wieso, bitte antworten.
      Wenn ich sage, dass g(x)*(x-x1) wieder f(x) ergibt, reicht das dann als Beweis dafür, dass (x-x1) aus f(x) ausgeklammert worden ist? Oder kann ich das noch anders mathematisch beweisen, dass (x-x1) ein aus f(x) ausgeklammerter Linearfaktor ist?

      MfG

    • Also wenn du g(x)*(x-x1)=f(x) hast, dann gilt f(x)/(x-x1) = g(x) bzw f(x)/g(x)=x-x1, (einfaches Umformen /(x-x1) bzw /g(x) auf beiden Seiten). Das brauchst du nicht anders beweisen, das fällt unter den Begriff "trivial" ^^

    • Ja so meinte ich das net, hab mich etwas komisch ausgedrückt, sorry.
      Also ich habe das Polynom f(x). Das teile ich dann durch ein Polynom, dass eine Nullstelle beinhaltet, also (x-Nullstelle).
      Muss ich beweisen, dass das Polynom 1. Grades aus f(x) ausgeklammert werden kann, bzw. auch wird, bzw. muss ich halt beweisen dass (x-Nullstelle) ein aus f(x) abgespaltener Linearfaktor ist?

      MfG

      Edit: hat im #Mathe nachgefragt wegen dem nur durch x teilen:"
      [15:32] <+mfb> Maxga: wenn du 184 durch 13 teilst, schreibst du rechts auch erstmal nur eine 1 hin
      [15:33] <+mfb> und links ziehst du eben 10*13 ab
      [15:33] <+mfb> <-> wenn du 1*x^2+8*x+4 durch 1*x+3 teilst, schreibst du rechts 1*x hin und ziehst links 1*x*(1*x+3) ab
      [15:33] <+mfb> also x^2+3x hier
      "
      Hm, schriftliche Division liegt wohl doch etwas zu weit zurück.

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Maxga ()

    • Ja, das musst du schon zeigen aber das kannst du eben tun, indem du mit Hilfe der Polynomdivision das g(x) errechnest für das gilt: g(x) * (x - Nullstelle) = f(x) Damit hast du ja gezeigt, dass du x-Nullstelle aus f(x) ausklammern kannst

    • Naja, aber gibt es dafür irgendeinen anderen, generellen mathematischen Beweis?
      Weil so ist es ja kein richtiger Beweis, da ich das dort nur für die einzelnen Beispiele jeweils beweise, aber nicht beweise, das dies generell so ist.

      MfG

      Edit: Ich glaub ich weiß jetzt, was Giles meinte, mit "mit einer weiteren Nullstelle aufgepustet". Man kennt ja eine Nullstelle, und bei der pq-Formel kriegt man 2 Lösungen raus, wie schafft man es denn jetzt die zusätzliche Nullstelle zu eliminieren?
      Oder noch nen Beispiel:
      Ich habe am Anfang das Polynom x^3+3x^2+4x+12, habe herausgefunden, -3 ist eine Nullstelle. teile dann dadurch, und kriege x^2+4 heraus.
      Wenn ich aber x^2 + 4 = 0 setze, oder die pq-Formel anwende, bekomme ich heraus, dass es keine Nullstellen gibt. Was ist in so einem Fall?

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Maxga ()

    • Also verstehe ich das richtig, dass du einen allgemeinen Beweis dafür haben willst, dass für ein beliebiges Polynom f(x) mit mindestens einer Nullstelle x0 gilt, dass man (x-x0) ausklammern kann?
      Also mathematisch exakt formuliert:
      für Alle p(x) mit p(x) ist Polynom UND es existiert ein x0 € reelle Zahlen mit p(x)=0 -> p(x) = (x-x0) * g(x) mit g(x) ist Polynom

    • x^2 + 4 is doch logisch das es da keine nullstelle gibt x^2 immer >=0 und dann + 4 => x^2 + 4 >= 4 wenn sowas rauskommt gibts halt nur 1 nullstelle

      und pq-Formel bringt eh nur was bei fus 2. grades imo schwachsinn da schaut man einmal hin und sieht die lösung btw liefert sie nicht immer 2 lösungen und wenn sies tut dann heisst das beide lösugnen nullstellen der fu 2. grades sind
      Take your time, don't live too fast. Troubles will come and they will pass.

    • Zu deinem Edit: Diese Funktion hat offensichtlich nur eine Nullstelle... Sieht man aber sofort an der quadratischen Funktion, dass sie keine Nullstellen hat. Ist ja Einfach die x^2 Parabel 4 Längeneinheiten nach oben verschoben.

    • Also wenn du willst, kannst du den kompletten Beweis von mir haben. Ist allerdings nicht sooo leicht zu verstehen, geht aber ;-) Ich mag es halt nicht, das alles in Worten auszudrücken, ich schreib lieber in Formeln ^^ Ich mach mich mal dran.
      Edit: Hast du OpenOffice?

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Vex ()

    • Da ist er. Wie gesagt, er ist nicht soo leicht zu verstehen aber auch nicht sonderlich schwer. Wenn du ihn aber nicht hundertprozentig verstehst, dann kann ich dir versichern, dass die Präsentation nach hinten losgeht, sobald einer eine Frage stellt ^^
      Ich schick es nun doch als pdf - odt ist ja nicht erlaubt ^^
      Dateien