Beweis für Polynomdivision zur Nullstellenberechnung

    • Hier noch eine kleine Ergänzung. Es muss noch gezeigt werden, dass man (x-x0) ausklammern kann.
      Man nehme den bisher geführten Beweis.
      Wir wissen also für f(x), g(x) mit g(x)!=0 gibt es (q(x), r(x)) mit f(x) = q(x) * g(x) + r(x)
      Setze g(x) = (x-x0)
      ->
      f(x) = q(x) * (x-x0) + r(x)
      da deg(g(x)) = 1 und deg(g(x)) > deg(r(x))
      -> deg(r(x)) < 1
      -> r(x) ist reelle Zahl r0
      ->
      f(x) = q(x) * (x-x0) + r0
      jetzt setze die Nullstelle x0 ein
      ->
      f(x0) = 0 = q(x0) * 0 + r0
      Da q(x0) * 0 = 0 muss also r0 = 0 sein.
      ->
      f(x) = q(x) * (x-x0) oder auch
      (x-x0) ist Teiler von f(x)

      P.S.: Die Beweise würden in der Uni durchgehen, sollte also bei dir kein Problem sein - erst Recht, wenn dein Lehrer sie nicht kennt.

    • Ok danke. Habe noch ne Frage, das r(x ) soll das der rest sein, der nichmehr teilbar ist?

      MfG

      Edit: Achja nochwas, du meintest "Diese beiden Sätze wurden verwendet", ham die nen bestimmten Namen?
      Edit2: Ok, ich muss doch nochmal fragen, hoffe ist kein Problem! Ich kanns einigermaßen nachvollziehen, aber was genau willst du mit dem degree-zeugs beweisen?
      Also ich hab meinen Bruder gefragt, ob er mir dabei hilft das nachzuvollziehen, ist Leistungskurs Mathe, und er meint auch, er versteht net genau, was einem der Beweis bringt.
      Wieso muss man beweisen dass der Grad von g(dem Ergebnis der Division nehm ich mal an) größer ist als der von r(x )(Siehe Frage oben, ist das der Rest?)

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    • Ja, das r(x) ist das Restpolynom.
      Der ganze Kram mit dem Grad wird nach dem Beweis weiterverwendet.
      Also der Beweis, dass deg(r(x)) < deg(g(x)) ist, wird hier benötigt:
      Es gilt: Wenn f(x) != 0 und g(x)|f(x), dann ist deg g(x) ≤ deg f(x).
      Wenn also ein Polynom f(x) ungleich 0 ist und g(x) Teiler von f(x) ist, so ist der Grad von f(x)
      größer als der Grad von g(x).
      Da wegen ( q(x) – q'(x) )* g(x) = r'(x) – r(x)
      g(x) Teiler von (r'(x)-r(x)) ist, müsste unter Zuhilfenahme der obigen Annahme deg(r'(x)-r(x)) >
      deg(g(x)) sein. Dass dies aber nicht der Fall ist, wurde ja gerade bewiesen. Also ist die Annahme
      (Annahme: r'(x) - r(x) != 0) wieder falsch.

      Damit konntest du also beweisen, dass r'(x) -r(x) = 0 ist und daher r'(x) = r(x).

      Außerdem wird das noch in der Ergänzung, die ich oben geschrieben habe genutzt, denn genau deshalb kann r(x) nicht irgendein Polynom mit r(x0) = 0 sein sondern muss eine reelle Zahl = 0 sein.

      Ob die beiden Sätze einen bestimmten Namen haben weiß ich nicht aber ich nehm es nicht an... Die sind ja eigentlich intuitiv klar und ihre Beweise sind genauso offensichtlich.