Geometrie Problem

FloDerLagg · 17. März 2012, 19:32

Hallo leute,
ich habe ein kleines geometrisches Problem, das ich nicht selber lösen kann. Vielleicht gibts ja wen, der Spass ma tüfteln hat.

Also: ich habe 2 Kreise k1 und k2 gegeben, k1 liegt gänzlich im inneren von k2. Weiters habe ich einen Punkt p gegeben, der auf k1 liegt. Nun würde ich gerne den Kreis k3 berechnen, der k1 im Punkt p berührt und auch k2 berührt.

Anbei eine Skizze (rot ist der gesuchte kreis k3, der schwarze punkt ist p, der innere kreis k1 und der äussere k2).

Mfg JeggerMeister

Coruscant · 17. März 2012, 19:36

Muss k1 den k2 wie auf der Skizze berührern?

Sind MIttelpunkte oder der Punkt p mit Werten gegeben?

mfg
Coruscant

FloDerLagg · 17. März 2012, 19:40

also k1 ist der kleine Kreis, k2 der größere (der rund um alles geht).
k1 berührt also k2 nicht, sondern liegt im inneren. k3 soll k1 und k2 berühren.

werte kannst gerne frei wählen, mir gehts ums prinzip

shrodo · 17. März 2012, 19:43

naja du brauchst halt irgenteine bedingung die den punkt aufm äuseren kreis beschreibt, und dann brauchst ja nur noch den punkt der von P und dem berührpunkt mit dem äußeren Kreis den gelichen abstand hat. Mit geraden wärs relativ einfach, aber da müsstest den äußerden pkt schon haben

pierakor · 17. März 2012, 19:44

also gesucht ist der punkt m3 wenn ich das richtig verstehe, radius r3 ergibt sich dann aus der distanz m3-p.
m3 liegt auf der geraden g die ich mal eingezeichnet habe und zwar liegt m3 zwischen p und q (dem schnittpunkt von k2 und g) und r3 ist natürlich immer distanz m3-p hmhm ich überlege nochn bissl und edite dann.

FloDerLagg · 17. März 2012, 19:46

pierakor schrieb:

also gesucht ist der punkt m3 wenn ich das richtig verstehe, radius r3 ergibt sich dann aus der distanz m3-p.
m3 liegt auf der geraden g die ich mal eingezeichnet habe und zwar liegt m3 zwischen p und q (dem schnittpunkt von k2 und g) und r3 ist natürlich immer distanz m3-p hmhm ich überlege nochn bissl und edite dann.

Ja das hast du alles völlig richtig verstanden. der schnittpunkt von k3 mit k2 liegt ausserdem auf einer geraden durch m2 und m3.

pierakor · 17. März 2012, 19:56

es gibt schonmal zwei lösungen, oder. ein K3_2 der k1 komplett enthält

FloDerLagg · 17. März 2012, 20:01

pierakor schrieb:

es gibt schonmal zwei lösungen, oder. ein K3_2 der k1 komplett enthält

Jup genau, ich suche aber die lösung in der skizze. die zweite habe ich schon.

Der_Busfahrer. · 17. März 2012, 20:05

Spiegeln!

pierakor · 17. März 2012, 20:09

Der_Busfahrer. schrieb:

Spiegeln!

Trollscience?... das bringt in diesem Beispiel vllt was aber nicht wenn p und k1 anders liegen

FloDerLagg · 17. März 2012, 20:16

pierakor schrieb:

Der_Busfahrer. schrieb:

Spiegeln!

Trollscience?... das bringt in diesem Beispiel vllt was aber nicht wenn p und k1 anders liegen

es gibt eine konstruktive lösung falls die kreise nicht ineinander liegen.
Man muss dazu vom punkt p richtung m1 den radius r2 auftragen, dann die streckensymmetrale zwischen dem erhaltenen punkt und m2 bilden und dann die streckensymmetrale mit der geraden von m1 durch p schneiden.
Vielleicht hilft dir das.

Coruscant · 17. März 2012, 20:41

Geht es um ne konstruktive Lösung oder ne rechnerische, oder ist es egal?

Edit: pierakor: deine Skizze ist aber nen Sonderfall imo, da dort M1 P und M3 auf einer Geraden liegen, was aber nicht sein muss imo

mfg
Coruscant

FloDerLagg · 17. März 2012, 20:49

Coruscant schrieb:

Geht es um ne konstruktive Lösung oder ne rechnerische, oder ist es egal?

mfg
Coruscant

wenn möglich wäre eine konstruktive lösung vorzuziehen (ähnlich der von mir beschriebenen), im notfall muss ich es ws rechnerisch lösen.
Ich kann mir schon vorstellen, dass mit einsetzen in berührbedingungen und kreisgleichung eine lösung zu berechnen wäre.

edit; doch, m1 m3 und p müssen immer auf einer geraden liegen. nicht jedoch derschnittpunk von k3 und k2

Sephiroth- · 17. März 2012, 20:54

Du muesstest halt die Tangente des Kreises M1 am Punkt p berechnen. Der gesuchte Kreis soll M1 an p und M2 an einem beliebigen anderen Punkt schneiden.
Also ergibt sich folgendes Bild: Vom Punkt p, der auf dem Kreis M1 sowie auf seiner Tangente liegt, geht eine Gerade in Richtung des Umrisses von M2. Diese Gerade steht im 90° Winkel zur Tangente von M1 an p, da M3 M1 nur einmal, und zwar an p, schneiden soll. Diese Gerade von p zum Umriss von M2 ist der Durchmesser deines gesuchten Kreises. Teilst du den durch Zwei hast du deinen Radius.

Jetzt bin ich am Ueberlegen wie du daraus den Mittelpunkt von M3 bekommst.., theoretisch muesstest du nur noch p in Richtung des eben berechneten Radius' verschieben, aber wie genau das jetzt geht..
Ist bei mir lange her, ich bin alt geworden.

Edit: Konstruktiv waere der Mittelpunkt einfach durch einen Hilfskreis mit dem berechneten Radius und Mittelpunkt p zu ermitteln. Da wo der Hilfskreis die Gerade von p zum Umriss von M2 schneidet ist dein Mittelpunkt.

FloDerLagg · 17. März 2012, 21:02

Sephiroth- schrieb:

Du muesstest halt die Tangente des Kreises M1 am Punkt p berechnen. Der gesuchte Kreis soll M1 an p und M2 an einem beliebigen anderen Punkt schneiden.
Also ergibt sich folgendes Bild: Vom Punkt p, der auf dem Kreis M1 sowie auf seiner Tangente liegt, geht eine Gerade in Richtung des Umrisses von M2. Diese Gerade steht im 90° Winkel zur Tangente von M1 an p, da M3 M1 nur einmal, und zwar an p, schneiden soll. Diese Gerade von p zum Umriss von M2 ist der Durchmesser deines gesuchten Kreises. Teilst du den durch Zwei hast du deinen Radius.

Jetzt bin ich am Ueberlegen wie du daraus den Mittelpunkt von M3 bekommst.., theoretisch muesstest du nur noch p in Richtung des eben berechneten Radius' verschieben, aber wie genau das jetzt geht..
Ist bei mir lange her, ich bin alt geworden.

Edit: Konstruktiv waere der Mittelpunkt einfach durch einen Hilfskreis mit dem berechneten Radius und Mittelpunkt p zu ermitteln. Da wo der Hilfskreis die Gerade von p zum Umriss von M2 schneidet ist dein Mittelpunkt.

Die tangente berechnen ist keine problem.Ich habe aber noch nicht ganz verstanden was du mit umriss meinst.
Ich lege also eine gerade durch p und m1, auf der der mittelpunkt m3 liegen muss. wie kann ich jetzt den umfang berechnen?

Sephiroth- · 17. März 2012, 21:06

Mit dem Umriss meinte ich den Kreis selbst, ich wollte nur die Richtung angeben, und klar stellen dass die Gerade nicht etwa in Richtung Mittelpunkt von M2 verlaeuft. Ich schmeiss mal mein Paint an und versuche dir das zu skizzieren, meine Erklaerung ist wohl ein wenig wirr.

FloDerLagg · 17. März 2012, 21:09

Sephiroth- schrieb:

Mit dem Umriss meinte ich den Kreis selbst, ich wollte nur die Richtung angeben, und klar stellen dass die Gerade nicht etwa in Richtung Mittelpunkt von M2 verlaeuft. Ich schmeiss mal mein Paint an und versuche dir das zu skizzieren, meine Erklaerung ist wohl ein wenig wirr.

Ah ok, tut mir leid für meine begriffstützigkeit

Wenn du mir erklären könntest, wie man den durchmesser bestimmen kann dann wäre mir schon sehr geholfen ^^
Der Durchmesser ist nämlich eben nicht der schnittpunkt dieser geraden durch p und m1 geschnitten mit k2.

Edit: Ich will mich hier auch noch bedanken für eure Bemühungen. ich weiß es wirklich zu schätzen!

Sephiroth- · 17. März 2012, 21:17

FloDerLagg schrieb:

Sephiroth- schrieb:

Mit dem Umriss meinte ich den Kreis selbst, ich wollte nur die Richtung angeben, und klar stellen dass die Gerade nicht etwa in Richtung Mittelpunkt von M2 verlaeuft. Ich schmeiss mal mein Paint an und versuche dir das zu skizzieren, meine Erklaerung ist wohl ein wenig wirr.

Ah ok, tut mir leid für meine begriffstützigkeit :)
Wenn du mir erklären könntest, wie man den durchmesser bestimmen kann dann wäre mir schon sehr geholfen ^^
Der Durchmesser ist nämlich eben nicht der schnittpunkt dieser geraden durch p und m1 geschnitten mit k2.

Ja.. ist mir grad beim Vergroessern deiner Zeichnung auch aufgefallen, da hab ich nicht genau hingeschaut und von daher kann man den Loesungsansatz auf meine Art vorerst vergessen. My bad~

naphack · 17. März 2012, 21:23

so müsste es gehen. Rechnerisch ne simple gleichung, konstruktiv könnte es sein dass man noch paar Tricks mehr braucht.

Gedanke dahinter ist, dass es ein Kreis ist und somit der Abstand vom mittelpunkt zum schnittpunkt mit den beiden Kreisen exakt gleich ist.

Merk grad die Beschriftung ist etwas inkonsistent, ein Teil davon würde nur als Vektor wirklich sinn machen.
Aber der Gedanke dahinter sollte ersichtlich sein.

Coruscant · 17. März 2012, 21:31

Mir ist aufgefallen, das T (der Tangentenpunkt von K3 an K2) immer auf Linie mit M3 und M2 liegt. Hilft dir das was?

Ansonsten kommt man mit Dreiecken ganz gut vorran.

mfg
Coruscant