Mathe Aufgaben Thread

danke saga, so eine elegante faustregel geht mir gut rein, aber...

SagaN9ne schrieb:

mach bloß nicht den fehler und nähere (x,0) mit x->0 und (0,y) mit y->0 deine prüfstelle an. damit zeigst du nur dass du es mit geraden annäherst aber man kann ja auch mit parabeln den punkt annähern (oder irgendwas anderes kurviges)

reicht das nicht um zu zeigen, dass es _nicht_ vollständig differenzierbar ist?

Wenn du genau anders herum alles beweisen willst für eine Funktion, dann hier mal ein Plan für dich :

Wir untersuche x_0=(x,y) auf Differenzierbarkeit.

f in x_0 stetig ?

N ? -> nicht differenzierbar
J ? -> partiell differenzierbar in x_0 ?

N ? -> nicht differenzierbar
J ? -> partielle Ableitung + Stetigkeit ?

J ? -> differenzierbar
N ? -> Prüfe mit Definition nach..

So kann man eigt. immer vorgehen und ich glaube so geht man fast immer mit diesen Aufgaben vor. Ich muss übrigens meine Aussage mit den Polarkoordianten zurücknehmen. Sie war Ursprünglich ja nichtmal von dir, daher erkläre ich nochmal wie du was mit Polarkoordinaten zeigst :

Für Stetigkeit oder Grezwerte bei rationalen Funktionen ist es fast immer einfacher mit Polarkoordinanten zu rechnen. (ACHTUNG : Das geht nur im IR^2 ansonsten musst du mit Kugelkoordinaten rechnen). Du setzt also x:=r cos(phi) und y:=r sin(phi). Dann r -> 0 laufen lassen. Erhälst du einen Grenzwert unabhängig vom Winkel, dann ist gezeigt, dass f im jeweiligem Punkt z.B. stetig ist. Anschaulich ist das auch klar, denn wenn die Länge des Vektors gegen 0 geht, also wie bei uns r->0, dann nähert man sich ja dem Nullpunkt an.

Um Unstetigkeit sonst zu zeigen musst du dich in dem Fall nur mit zwei verschiedenen Geraden annähern. also lim(x,0)->(0,0) von f(x,0) betrachten und z.B. lim (x,x)->(0,0) von f(x,x) betrachten. Wenn die Werte ungleich sind hast du direkt Unstetigkeit gezeigt. Glaube das Paradebeispiel dafür wäre f(x,y):= xy / (x^2+x^2) für (x,y)!=0 und 0 für (x,y)=(0,0). Teste es mal dort einfach aus, dann weißt du was ich meine

Also wenn du zeigen willst dass eine Funktion total differenzierbar ist, dann zeige, das sie partiell differenzierbar ist, d.h. dass die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Das macht man fast immer so bei solchen Aufgaben ! Die totale Diffrenzierbarkeit direkt zu zeigen ist meistens schwieriger.. Hoffe ich konnte helfen..

dankeschön.

ich wiedermal:




wenn wer zeit/lust hat...

I5h4n schrieb:

weiß nicht ob es schon reicht zu zeigen, dass wenn die summe = 1 ist das ganze linear abhängig ist, denn das ist ja obv.

Nope, reicht nicht.
@Elephant:
Nimm die Definition, dass für l.u. Vektoren aus sum(a_i*v_i)=0 bereits a_i=0 für alle i=1..n folgt, da setzt du dann einfach deine v_i ein (bei dir v_i-v=v_i-sum(lambda_i*v_i). Dann schiebst du alles was von v abhängt auf die andere seite, dann müsste da sowas stehen wie sum(a_i*v_i)=sum(a_i*v)=sum(a_i*sum(lambda_j*v_j))=sum(i,j)(a_i*lambda_j*v_j)=sum(lambda_i*sum(a_j)*v_j)
(vom 2. bis zum letzten is nur v=sum(lambda_i*v_i) eingesetzt und die summen ein wenig aufgedröselt)
Damit muss, da v_i l.u. bereits a_i=lambda_i*sum(a_j)) sein, woraus für sum(lambda_j)!=1 bereits a_i=0 folgt, was du sofort siehst, wenn du einfach die Gleichungen für alle i aufsummierst, dann muss nämlich sum(a_i) bereits 0 sein für sum(lambda_i)!=1, damit folgt schon a_i =0.

Alternativ kannst du auch argumentieren, dass Affinitäten die affine Unabhängigkeit unberührt lassen, aber ich bezweifle dass ihr das schon gehabt habt

Danke!

Hab nem Kumpel letzte Woche bei der gleichen Aufgabe geholfen in Diffgeo

Beweisidee war : Zwei positive Basen nehmen und zeigen, dass die gleich orientiert sind. Dann folgt mit der Existenz eines orientierten Atlas die Aussage.

Dann nimm ein Diffgeo / Ana 3 Skript, sollte eigentlich fast überall drin stehen

Mathematiker sollten eigentlich Spoiler hassen, aber wenn du es nicht anders willst :

Kein Problem.

Untermannigfaltigkeiten "sehen so aus wie" Untervektorräume (mit so nem Diffeomorphismus) und UVR sind Nullmengen (vll mit dem Transformationssatz argumentieren). Ist meine spontane Idee grad.

kurze frage:
welche aussage kann ich treffen, wenn die hesse-matrix einer funktion nurnoch aus konstanten besteht?